Introduction de la constante de Planck au sein du formalisme

Les grandeurs classiques s'ajoutent et se multiplient comme les grandeurs d'une algèbre commutative. L'ordre dans lequel s'écrivent les éléments d'un produit est sans importance. Au contraire, les opérateurs que la mécanique quantique donne pour images de ces grandeurs physiques, ne commutent pas en général. Il est donc essentiel de connaître la valeur de ces commutateurs. Une méthode, découverte par Dirac en 1927, et qui sera utilisée ci-après, s'inspire toutefois de la mécanique classique pour fixer la valeur des commutateurs quantiques, entre des grandeurs déjà considérées par la physique classique. Il y a lieu de rappeler qu'au cours des chapitres précédents, la quantification est toujours apparue liée à l'existence d'une constante de Planck non nulle, et qu'au contraire, si cette constante était nulle, on retrouverait en général les conclusions de la physique classique, pour laquelle, en particulier, tous les commutateurs seraient nuls. Par suite, on prévoit que le commutateur de deux observables $A$ et $B$ doit être une quantité (éventuellement un opérateur) fonction de $\hbar$ , soit $C(\hbar)$ , qui tend vers zéro avec $\hbar$ .

$$[A,B]=C(\hbar)~\underset{\hbar\rightarrow 0}{\longrightarrow}~0$$

Nous examinerons ensuite comment la non-commutabilité de deux observables explique leur incompatibilité. D'une façon précise, dans un état $\Psi$ quelconque, les dispersions des valeurs prises autour de leurs valeurs moyennes par deux observables quelconques $A$ et $B$ sont mesurées par leurs écarts-types $\Delta A$ et $\Delta B$ , et nous démontrerons les inégalités, dites de Heisenberg :

$$\Delta A.\Delta B\geq {{1}\over{2}}\;\left\vert\left<[A,B]\right>_\Psi\right\vert$$

et, en particulier :

$$\mathrm{Si}~~~~~[A,B]=i\hbar~~~\Longrightarrow~~~\Delta A.\Delta B\geq{{\hbar}\over{2}}$$

Nous essaierons ensuite de trouver la raison d'être de ces commutateurs. Pour cela nous examinerons d'abord comment sont transformés les vecteurs états $\mid \Psi>$ et les observables $A$ d'un système, quand celui-ci est soumis à des transformations, telles que des translations et des rotations. Nous découvriront que les opérateurs qui engendrent ces transformations sont précisément les principales observables, et que leurs relations de commutation sont des conséquences des propriétés géométriques de ces transformations. Ainsi, l'algèbre quantique trouvera un lien avec la géométrie dans l'espace-temps.