a) Le hamiltonien

Les indices 1 et 2 repèrant respectivement les observables relatives au proton et à l'électron, le hamiltonien des deux particules s'écrira :

$$H = \frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}-\frac{Z\,e^2}{\begin{array}... ...~~~~~~~~~~ \left(\vec{R}~=~\frac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}\right)$$

Si on introduit la quasi-particule associée au centre de masse, de masse $M\,=\,m_1+m_2$ d'impulsion $\vec{P}\,=\,\vec{p}_1+\vec{p}_2$ et la quasi-particule, associée au mouvement relatif, de masse $m$ et d'impulsion $\vec{p}$ :

$$\frac{1}{m} = \frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \vec{p}~=~\frac{m_2\,\vec{p}_1-m_1\,\vec{p}_2}{m_1+m_2}$$

le hamiltonien prend la forme suivante :

$$H = \frac{\vec{P}^{\,2}}{2M} + \frac{\vec{p}^{\,2}}{2m} - \frac{Z\,e^2}{r}$$

et admet des solutions du type :

$$\Psi(\vec{R},\vec{r}) = e^{-\frac{i}{\hbar}\,\vec{P}\cdot\vec{R}}\,\psi(\vec{r})$$

dans laquelle l'exponentielle est une onde plane qui décrit le mouvement rectiligne et uniforme du centre de masse, tandis que la fonction d'onde associée au mouvement relatif est déterminée par l'équation :

$$\left(\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m} - \frac{Z\,e^2}{r}\right)\,\psi(\vec{r}) = E_r\,\psi(\vec{r})$$

$E_r$ désignant l'énergie relative, c'est-à-dire évaluée dans le référentiel du centre de masse. Nous avons vu^III20 que cette équation admet des solutions particulières de la forme :

$$\psi(\vec{r}) = \frac{u_l(r)}{r}~~Y^m_l(\theta,\varphi)$$

la fonction $u_l(r)$ devant être la solution de l'équation radiale :

$$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2}{dr^2} + l\,(l+1)\,\frac{\hbar^2}{2m\,r^2} -\frac{Z\,e^2}{r} - E_r\right]\,u_l(r) =$$ 0

Cette équation à une seule variable $r$ est du type de celles qui régissent les mouvements à une dimension d'une particule et qui ont été considérées précédemment^III21. La condition aux limites $r~=~0$ :

$$\lim_{r\,\to\,0} u_l(r) =$$ 0

correspondant au fait que la particule ne peut pas pénétrer dans la région non physique $r<0$ .

Par ailleurs, tout se passe comme si la particule était soumise à un potentiel effectif : $$V_\mathrm{eff}(r) = \frac{l\,(l+1)\,\hbar^2}{2m\,r^2} - \frac{Z\,e^2}{r}$$ La figure ci-contre indique comment classiquement les valeurs possibles de $l$ sont associées à celles de l'énergie $E$ du système. La valeur de $E$ la plus basse est nécessairement associée à la valeur $l\,=\,0$ et quand $E$ augmente, la nombre de valeurs de $l$ possibles augmente également.

Par ailleurs si $l\,=\,0$ , le domaine de variation de $r$ est du type $r\,<\,R_0$ , tandis que pour $l\,=\,i$ ce domaine est du type :

$$r_i\,<\,r\,<\,R_i$$

Ainsi l'effet du premier terme du potentiel est de maintenir l'électron éloigné de l'origine. D'un point de vue classique, la force correspondant à ce terme est $\scalebox{1.4}{$\frac{l\,(l+1)\,\hbar^2}{m\,r^3}$}$ et correspond à la force centrifuge $\scalebox{1.4}{$\frac{mv^2}{r}$}$ puisque le moment angulaire $l$ est tel que :

$$l\,(l+1)\,\hbar^2~\sim~l^2 = r^2\,m^2\,v^2$$

C'est pour cette raison que le terme correspondant s'appelle le terme centrifuge.