a) Définition

On appelle constante du mouvement toute observable $\Omega$ qui commute avec le hamiltonien :

$$\left[\Omega,H\right]=0~~~~~~~~~\mathrm{quel~que~soit}~t$$

En fait, puisqu'une observable $\Omega$ ne dépend pas en général du temps, l'équation précédente ne peut être satisfaite que si le hamiltonien $H$ ne dépend pas non plus du temps. En effet, si $H$ dépend du temps, l'équation ci-dessus exige que $\Omega$ commute avec une infinité d'opérateurs distincts.

Si donc, $H$ ne dépend pas du temps :

$$\mathcal{U}(t,t_0)=\mathcal{U}(t-t_0)=e^{-\frac{i}{\hbar}(t-t_0)\,H}$$

et si $\Omega$ commute avec $H$ , $\Omega$ commute aussi avec $\mathcal{U}$ :

$$\left[\Omega,\mathcal{U}(t,t_0)\right]=0~~~~~~~~~\forall t$$