Remarque 2 :

Si au contraire la masse $m$ de la particule n'est pas nulle, soit par exemple un électron :

$$E = \frac{p^2}{2m}~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{d'o\grave{u}}~~~~~~~~~~~ \o... ...r\,k^2}{2m}~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~\omega_0^{\prime\prime}~=~\frac{\hbar}{2m}$$

son paquet d'ondes subit l'étalement :

$$\Delta x(t) = \sigma_x\,\left( 1 + \frac{\hbar^2\,t^2}{4m^2\,\sigma_x^4}\right)^\frac{1}{2}$$

Considérons par exemple un électron enfermé dans un atome de rayon $R$ : $\sigma_x\,\sim\,R$ . L'image naïve des orbites planétaires de Rutherford n'a de sens que si cet électron demeure approximativement localisé au moins durant la durée $T$ d'une révolution :

$$\frac{\hbar\,t}{2m\,\sigma_x^2}\,\ll\,1~~~~~~~~~~~\mathrm{pour}~~... ....4}{$\frac{2\pi\,R}{v}$} \\ & & \\ \sigma_x &\sim & ~~~R \\ \end{array} \right.$$

d'où la condition :

$$\frac{\hbar\,T}{2m\,R^2} = \frac{\hbar}{2m\,R\,v} ~=~ \frac{\hbar}{\ell_z}~\ll~1$$

ou encore tenu compte de la condition de quantification de Bohr :

$$\ell_z = n\,\hbar~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{d'o\grave{u}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~n~\gg~1$$

Ainsi l'image classique des trajectoires ne peut devenir valable que pour les grandes valeurs du nombre quantique principal $n$ . C'est là un aspect du principe de correspondance.