Interaction

Abandonné à lui-même l'état initial I filtré par l'appareillage évolue ensuite spontanément, et notamment sous l'effet de l'interaction entre les deux particules. Conformément au postulat VI, cette évolution temporelle est représentée par l'action de l'opérateur $\mathcal{U}(t_f-t_i)$ , qui conduit à l'état sur lequel la mesure finale est effectuée :

$$\mathcal{U}(t_f-t_i)\,\mid I> = e^{-\frac{i}{\hbar}\,(t_f-t_i)\,H}\,\mid\widetilde{P_1},\widetilde{P_2},\lambda>$$

C'est précisément la tâche d'une théorie des interactions mises en jeu dans la réaction étudiée, que de fournir une expression de l'énergie d'interaction qui figure dans le hamiltonien total $H$ et d'en déduire l'expression des amplitudes de transition entre des états initiaux et finals bien déterminés :

$$<f\mid \mathcal{U}\mid i> = \lim_{\scriptsize\begin{array}{c} t_f\to+\infty \\ t_i\to-\infty\\ \end{array}}\,<f\mid\,e^{-\frac{i}{\hbar}\,(t_f-t_i)\,H}\,\mid i>$$

et en particulier pour :

$$\mid i> = \mid{P_1},{P_2},\lambda>~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~~~ \mid f> ~=~ \mid \vec{p}_1,\ldots,\vec{p}_n,\lambda^\prime>$$

On construit ainsi les éléments d'une matrice $S$ appelée matrice de diffusion ou de réaction et qui exprime toute la dynamique des interactions :

$$<f\mid S \mid i> = <\vec{p}_1,\ldots,\vec{p}_n,\lambda^\prime\mid S \mid P_1,P_2,\lambda >$$

On notera que les lignes et les colonnes se réfèrent à deux bases distinctes.

Or, pour un système de particules soumises à des interactions seulement mutuelles, l'énergie et l'impulsion totales sont conservées au cours de la réaction, de telle sorte que^IV33 la matrice précédente n'a d'éléments de matrice non nuls qu'entre des états de même 4-impulsion totale et on peut alors définir une nouvelle matrice réduite par ses éléments $<f\mid \mathcal{M}\mid i>$ tels que :

$$<f\mid S \mid i> = i\,(2\pi)^4\,\delta^4(\mathcal{P}_f-\mathcal{P}_i)\,<f\mid \mathcal{M}\mid i>$$

Toute la dynamique de l'interaction est implicitement contenue dans les valeurs des éléments $<f\mid \mathcal{M}\mid i>$ et le but d'une expérience est de tester la validité de la théorie ou plus simplement du modèle qui a conduit à ces valeurs.