Théorème préliminaire

Si deux observables $A$ et $B$ commutent, elles admettent un ensemble complet de vecteurs propres communs et réciproquement :

$[A,B]=0~~~\Longleftrightarrow~~~\{\mid a,b>\}~$ est complet

Réciproque :           Si $\{\mid a,b>\}$ est complet

$\forall \mid f>~\in~$ $\cal{H}_{\cal{S}}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mid f>=\underset{a,x}{\scalebox{1.7}{S}}~f(a,b)\mid a,b>$

$~~[A,B]\mid f>=\underset{a,x}{\scalebox{1.7}{S}}~f(a,b)[A,B]\mid a,b>$

mais $~~[A,B]\mid a,b>=(ab-ba)\mid a,b>=0$

d'où $~~[A,B]\mid f>=0~~\Longrightarrow~~[A,B]=0$

Proposition directe :          Si $[A,B]=0$

$A$ est une observable et ses vecteurs propres $\mid a,x>$ constituent donc un système complet. En particulier pour tout vecteur propre de $B$ on a :

$\mid b>=\underset{a}{\scalebox{1.7}{S}}~\mid a,b\hspace{-.17cm}/\,>$

$\mid a,b\hspace{-.17cm}/\,>$ désignant la projection de $\mid b>$ dans $\cal{H}_{\cal{S}}$ $(a)$ de telle sorte que dans la somme du second membre, chaque valeur propre de $a$ n'apparait qu'une seule fois au plus. Par ailleurs :

$(B-b)\mid b>=0=\underset{a}{\scalebox{1.7}{S}}~(B-b)\mid a,b\hspace{-.17cm}/\,>$

Or, chacun des vecteurs de la somme du second membre est un vecteur propre de $A$ car :

$A(B-b)\mid a,b\hspace{-.17cm}/\,>=(B-b)A\mid a,b\hspace{-.17cm}/\,>=a(B-b)\mid a,b\hspace{-.17cm}/\,>$

Par suite, ce second membre est une combinaison linéaire de vecteurs propres de $A$ relatifs à des valeurs propres distinctes (puisque chacun n'apparait au plus qu'une seule fois) donc orthogonaux entre eux et ainsi linéairement indépendants. Puisque cette somme est nulle, chacun de ses termes est lui-même nul.

$(B-b)\mid a,b\hspace{-.17cm}/\,>=0$

$\mid a,b\hspace{-.17cm}/\,>$ est donc vecteur propre de $B$ relatif à la valeur propre $b$ et par suite on peut écrire, $\mid a,b>$ désignant un vecteur normé :

$\mid a,b\hspace{-.17cm}/\,>=C\mid a,b>~~$ et $~~\mid b>=\underset{a}{\scalebox{1.7}{S}}~C\mid a,b>$

Par ailleurs, puisque les vecteurs propres de l'observable $B$ forment un système complet, tout vecteur ket $\mid f>$ est développable selon une base $\{\mid b,x>\}$ :

$\mid f>=\underset{b}{\scalebox{1.7}{S}}~\mid b,x>~~$ et $~~\mid b,x>=\underset{a}{\scalebox{1.7}{S}}~f(a,b)\mid a,b>$

d'où $~~~\mid f>=\underset{a,b}{\scalebox{1.7}{S}}~f(a,b)\mid a,b>$

et $\{\mid a,b>\}$ constitue bien un ensemble complet de vecteurs propres communs de $A$ et $B$ .

Plus généralement, si $n$ observables $A,B,...$ etc, commutent deux à deux, ces $n$ observables admettent un système complet de vecteurs propres communs :

$\{\mid a,b,c,\ldots >\}$

dont chacun, quand $n$ augmente, est de mieux en mieux repéré par les $n$ valeurs propres simultanées auxquelles il est associé. On peut démontrer qu'il est possible de choisir un nombre maximum $N$ de telles observables $A,B,\ldots,Z$ indépendantes^I28et qui commutent deux à deux, de telle sorte qu'à tout ensemble de valeurs propres simultanées ne corresponde qu'un seul vecteur propre commun, défini à un facteur près :

$(a,b,c,\ldots)~~~\Longleftrightarrow~~\mid a,b,c,\ldots >$

Un tel ensemble d'observables $A,B,C,\ldots,Z$ s'appelle un E.C.O.C. (Ensemble Complet d'Observables qui Commutent). Nous verrons que chacun de ses vecteurs propres communs est doté de propriétés physiques bien définies. Ainsi, choisir un E.C.O.C., c'est choisir une base d'états physiques par rapport auxquels tout autre état pourra être repéré.

Il y a lieu de remarquer que chacun des vecteurs propres $\mid a,b,\ldots,z>$ d'un E.C.O.C., même s'il est normé, n'est déterminé qu'à un facteur de phase $e^{i\alpha}$ près avec $\alpha=\alpha(a,b,\ldots,z)$ . En ce sens, la base mathématique de $\cal{H}_{\cal{S}}$ demeure elle-même indéterminée. Cette situation paraît sans conséquence physique puisqu'il s'agit d'une simple base mathématique arbitraire dans un espace vectoriel^I29.

Question 1-13 : Soit $\{\mid a_i>\}$ l'ensemble des vecteurs propres d'un opérateur hermitique $A$ , dont les valeurs propres $a_i$ , non dégénérées, constituent un spectre discret. On considère l'ensemble des opérateurs :

$P_i=\mid a_i><a_i\mid$

$\imath-$ Montrez que $P_i$ satisfait une équation algébrique et en déduire que $P_i$ est une observable dont on déterminera les vecteurs propres et les valeurs propres.

$\imath\imath-$ Montrez que la base $\{\mid a_i>\}$ est bien constituée des vecteurs propres communs d'un E.C.O.C. que l'on déterminera.