Remarque

Afin de sauvegarder la séparabilité des sous-systèmes $F$ et $G$ , on aurait pu imaginer ne devoir garder comme seuls vecteurs kets représentatifs d'états physiques de $H$ que des vecteurs kets de la forme :

$$\mid h>=\mid f>\otimes\,\mid g>$$

Un tel postulat aurait été inconsistant car incompatible avec le postulat VI d'évolution temporelle. En effet si l'état initial pour $t=t_0$ de $H$ est représenté par un vecteur produit tel que le précédent, le vecteur ket $\mid h(t)>$ représentatif d'un état ultérieur à un instant $t$ ($t>t_0$ ) :

$$\mid h(t)>=\mathcal{U}(t-t_0)\,\mid h(t_0)>= e^{-\frac{i}{\hbar}\,(t-t_0)\,H}\,\left(\mid f_0>\otimes\,\mid g_0>\right)$$

n'est lui-même factorisable que si le halmitonien total $H$ est lui-même décomposable en une somme de deux hamiltoniens $H_F$ et $H_G$ :

$$H=H_F\oplus\,H_G=(H_F\otimes\,\mathbf{1})\oplus\,(\mathbf{1}\otimes\,H_G)$$

agissant séparément dans ${\mathcal{H}}_{F}$ et ${\mathcal{H}}_{G}$ .

Question 5-15 : Justifiez l'affirmation précédente.

Dans un tel cas, l'énergie totale de $H$ est simplement la somme de l'énergie de $F$ et de celle de $G$ , et l'absence de tout terme correspondant à une énergie d'interaction explique pourquoi les deux systèmes $F$ et $G$ demeurent alors indépendantes.

Au contraire, la présence dans l'hamiltonien $H$ , d'un terme d'intercation $V_{FG}$ fonction des observables de $F$ et de $G$ :

$$H=H_F+H_G+V_{FG}$$

a pour effet de mélanger les variables dont dépend la fonction d'onde du système global. Ainsi une interaction, même transitoire, a pour effet de rendre définitivement inséparables les deux sous-systèmes. De tout ceci résulte qu'en toute rigueur, seul l'Univers dans sa totalité est dans un état physique déterminé susceptible d'être représenté par un vecteur ket.