d) Résultats

Supposons que l'expérience soit d'abord réalisée avec la configuration $(x,x^\prime)$ , c'est-à-dire que l'on mesure en coïncidence :

$$s_{x^\prime}(a)~~~~~\mathrm{et}~~~~~s_{x^\prime}(b)~~~~~~~~~~~~~~... ...~\mathrm{d'o\grave{u}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~s_{x^\prime}(a)=-s_{x^\prime}(b)$$

La probabilité d'obtenir un événement pour lequel les deux signaux sont tous deux $R$ ou tous deux $G$ est la somme des probabilités correspondant aux cas numéroté 1 et 2 d'une part, et 7 et 8 d'autre part :

$$\mathcal{P}(x\otimes\,x^\prime)=P_1+P_2+P_7+P_8$$

Correspondant aux deux autres configurations on obtient de même :

$$\mathcal{P}(x^\prime\otimes\,x^{\prime\prime})=P_1+P_4+P_5+P_8$$

$$\mathcal{P}(x\otimes\,x^{\prime\prime})=P_1+P_3+P_6+P_8$$

Or, comme l'indique le tableau, chacune de ces probabilités a une expression^V39 de la forme :

$$\begin{array}{\vert c\vert}<\overset{-}{u},\overset{+}{v}\mid... ...ert}<\overset{+}{u},\overset{-}{v}\mid \Psi>\\ \end{array}^{~2}$$

et tenu compte de l'état initial dans lequel la paire $(a,b)$ est émise :

$$\mid \Psi>=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(\mid +,->_w\,-\,\mid -,+>_w)$$

$w$ désignant une direction queslconque, et par exemple $w=u$ ou $v$ :

$$\begin{array}{\vert c\vert}<\overset{-}{u},\overset{+}{v}\mid... ...i>\\ \end{array}^{~2}= \frac{1}{2}\,\cos^2\frac{\theta_{uv}}{2}$$

$\theta_{uv}$ désignant l'angle formé entre les deux directions $u$ et $v$ . Ici $\theta_{uv}=\frac{2\pi}{3}$ d'où :

$$\frac{1}{2}\,\cos^2\frac{\theta_{uv}}{2}=\frac{1}{8}$$

Il en résulte immédiatement par exemple :

$$P_1+P_2=\begin{array}{\vert c\vert}\overset{-}{x},\overset{+}{x^\prime}\mid \Psi>\\ \end{array}^{~2}=\frac{1}{8}$$

et de même :

$$P_1+P_2=P_7+P_8=P_1+P_5=P_4+P_8=P_1+P_3=P_6+P_8=\frac{1}{8}$$

ou encore :

$$\mathcal{P}(x\otimes\,x^{\prime})= \mathcal{P}(x^\prime\otimes\,x^{\prime\prime})= \mathcal{P}(x\otimes\,x^{\prime\prime})= \frac{1}{4}$$

Ces dernières équations s'écrivent encore :

$$\begin{array}{ccccccccc} P_1 & + & P_2 & + & P_7 & + & P_8 & ... ...& + & P_3 & + & P_6 & + & P_8 & = & \frac{1}{4} \\ \end{array}$$

d'où en sommant membre à membre :

$$P_1+P_8=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\,\sum\limits_{j=2}^7\,P_j$$

Par ailleurs, puisque les huit cas considérés épuisent toutes les possibilités :

$$\sum\limits_{i=1}^8\,P_i=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{avec}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0\leq P_i\leq 1$$

d'où :

$$P_1+P_8=1-\sum\limits_{j=2}^7\,P_j$$

En comparant les deux expressions de $P_1+P_8$ on obtient :

$\sum\limits_{j=2}^7\,P_j=\frac{9}{8}\,>\,1~~$ !

résultat évidemment aberrant.