e) Changement de représentation

Ainsi, les objets théoriques, kets - bras - opérateurs... introduits dans le formalisme de la mécanique quantique peuvent être représentés par divers ensembles de nombres. Plus précisément, à chaque E.C.O.C. correspond une base de l'espace des états et à cette base correspond une représentation du formalisme de la mécanique quantique.

Choisir une représentation, c'est donc choisir un E.C.O.C.

Si les observables ainsi choisies ont des spectres discrets de valeurs propres, les vecteurs et les opérateurs seront représentés par des matrices. Si ces spectres sont continus, les vecteurs et les opérateurs seront représentés par des fonctions, des distributions et des opérateurs fonctionnels.

Changer de représentation, c'est changer de base et donc d'E.C.O.C. Soit un premier E.C.O.C. contitué des observables $A,B,C,\ldots$ auxquelles correspondent la base de représenta-tion $\{\mid a,b,c,\ldots >\}$ notée symboliquement $\{\mid a>\}$ et un deuxième E.C.O.C. contitué des observables $X,Y,Z,\ldots$ auxquelles correspondent un deuxième base $\{\mid x,y,z,\ldots>\}$ notée symboliquement $\{\mid x>\}$ .

Un même ket $\mid f>$ aura pour composantes les nombres $<a\mid f>$ dans la première représentation et les nombres $<x\mid f>$ dans la seconde. Sachant que :

$$\mathbf{1}=\underset{a}{\scalebox{1.7}{S}}~\mid a><a\mid =\underset{x}{\scalebox{1.7}{S}}~\mid x><x\mid$$

on en déduit immédiatement :

$$<a\mid f>=<a\mid \left(\underset{x}{\scalebox{1.7}{S}}~\mid x><x\mid \right)~\mid f>=\underset{x}{\scalebox{1.7}{S}}~<a\mid x><x\mid f>$$

$$<x\mid f>=<x\mid \left(\underset{a}{\scalebox{1.7}{S}}~\mid a><a\mid \right)~\mid f>=\underset{a}{\scalebox{1.7}{S}}~<x\mid a><a\mid f>$$

Les nombres $<a\mid x>$ sont les éléments d'une matrice de changement de base. Par exemple si les spectres sont discrets :

$$<a_i\mid f>=\underset{j}{\scalebox{1.7}{S}}<a_i\mid x_j><x_j\mid f>$$

$$f_i^{(a)}=\underset{j}{\scalebox{1.7}{S}}~\mathcal{M}_{ij}~f_j^{(x)}$$

On procède de même pour un changement de représentation des opérateurs :

$$B=\mathbf{1}B\mathbf{1}$$

$$<a\mid B\mid a^\prime>=<a\mid \left(\underset{x}{\scalebox{1.7}{S... ...x^\prime}{\scalebox{1.7}{S}}~\mid x^\prime><x^\prime\mid \right) \mid a^\prime>$$

$$<a\mid B\mid a^\prime>=\underset{x,x^\prime}{\scalebox{1.7}{S}}~<a\mid x><x\mid B\mid x^\prime><x^\prime\mid a^\prime>$$

que l'on peut noter symboliquement :

$$B_{a,a^\prime}=\underset{x,x^\prime}{\scalebox{1.7}{S}}~\mathcal{M}_{a,x}~ B_{x,x^\prime}~\mathcal{M}_{x^\prime,a^\prime}^{-1}$$

Très prochainement^I31 nous étudierons deux exemples de telles représentations, admettant pour vecteurs de base, l'une, les états propres des observables position $X,Y,Z$ et l'autre, les états propres des observables impulsion $P_x,P_y,P_z$ .