D) Opérateurs de création et d'annihilation

Etant donnée la forme de l'opérateur hamiltonien de l'oscillateur harmonique, on peut considérer cet hamiltonien comme étant celui d'un ensemble de corpuscules indiscernables, sans interaction, et portant tous la même énergie $\hbar\omega$ mais dont le nombre peut varier. Selon cette interprétation, l'opérateur $N_+$ représente le nombre total de corpuscules qui peut varier de 0 à $+\infty$ . L'opérateur $\eta^\dagger$ transforme un état à $n$ corpuscules en un autre état à $n+1$ corpuscules. $\eta^\dagger$ est un opérateur de création. Au contraire $\eta$ est un opérateur d'annihilation.

Cette interprétation de l'oscillateur harmonique est couramment utilisée en théorie quantique des champs et permet notamment la quantification du champ électromagnétique. Les corpuscules ici imaginés sont alors les quanta du champ, c'est-à-dire les photons.

L'expression des niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique est une des plus importantes de la mécanique quantique :

$$\begin{array}{\vert c\vert}\hline { }\\ ~~ E_n ~=~ \left(n+\s... ...\frac{1}{2}$}\right)\,\hbar\omega ~~\\ { }\\ \hline \end{array}$$

En effet, dans la mesure où la matière peut être considérée comme constituée d'un ensemble d'oscillateurs émettant ou absorbant de l'énergie, la quantification des niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique fait apparaître que ces échanges d'énergie ne peuvent se faire que par quanta discrets. Ainsi apparaît une justification de l'hypothèse historique de Planck concernant l'interaction du rayonnement avec la matière.