e) Aspect thermodynamique

L'opérateur $\rho$ caractérise comment un ensemble de $N$ systèmes identiques occupe un ensemble d'états distincts. Il joue un rôle analogue à une fonction classique de répartition statistique. Une telle fonction s'écrit, $k$ désignant la constante de Boltzmann :

$$S_{\mathrm{cl}}= -k\,\left(\sum\limits_\alpha\,\left(n_\alpha\,\ln\,n_\alpha\right) \,-N\,ln\,N\right)$$

où $n_\alpha$ est le nombre de systèmes dans l'état $\alpha$ , d'où, avec $\mathcal{P}_\alpha=\frac{n_\alpha}{N}$ et $\sum\limits_\alpha\,\mathcal{P}_\alpha=1$ :

$$S_{\mathrm{cl}}= -k\,N\,\sum\limits_\alpha\,\mathcal{P}_\alpha\,\ln\mathcal{P}_\alpha$$

Il est donc normal de définir l'entropie $S$ analogue quantique :

$$S_{\mathrm{qu}}= -k\,N\,\mathrm{Tr}\,(\rho\,\ln\rho)$$

identique à $S_{\mathrm{cl}}$ sur la base $\{\mid \varphi_\alpha>\}$ qui diagonalise $\rho$ .

On notera, en particulier, que l'entropie d'un cas pur :

$$S_{\mathrm{qu}}= -k\,N\,\sum\limits_\alpha\,\mathcal{P}_\alpha\,\ln\mathcal{P}_\alpha$$

est nulle, car chacun des termes de la somme est nul, puisque $\mathcal{P}_\alpha=1$ ou 0 .