a) Passives ou actives

Une transformation $T$ passive consiste en un changement du repère $S$ dans l'espace-temps $\mathbf{R}_4$ . Le nouveau repère $S^\prime=T.S$ peut être déduit de $S$ par une translation (ou déplacement) $D_x(a)$ de direction $O\vec{x}$ et de longueur $a$ ou par une rotation $R_z(\varphi)$ d'axe $O\vec z$ et d'angle $\varphi$ , ou par réflexion $P_O$ par rapport à l'origine $O$ ou... etc

Les mêmes transformations, translations, rotations, réflexions,... etc peuvent être appliquées au système physique $\Sigma$ lui-même, qui devient alors le système $\Sigma^\prime$ tel que $\Sigma^\prime=T.\Sigma$ .

La transformation $T$ correspondante est alors dite active.

On remarque qu'il revient au même, soit de soumettre le système physique $\Sigma$ à la transformation $T$ en conservant le référentiel $S$ , soit de soumettre le référentiel $S$ à la transformation $T^{-1}$ en conservant le système physique $\Sigma$ . Autrement dit $\Sigma$ vu de $S^\prime$ (noté $\Sigma/S^\prime$ ) est équivalent à $\Sigma^\prime$ vu de $S$ (noté $\Sigma^\prime/S$ ).