c) Algèbre

L'ensemble des opérateurs linéaires peut être muni des trois lois de composition suivantes :

$$(L_1+L_2)\mid f>=L_1\mid f>+L_2\mid f>$$

$$(\lambda L)\mid f>=\lambda (L\mid f>)$$

$$(L_1.L_2)\mid f>=L_1(L_2\mid f>)$$

Ainsi l'ensemble de ces opérateurs linéaires constitue un nouvel espace vectoriel doté d'une opération multiplicative telle que l'ensemble de ces opérateurs linéaires constitue une algèbre qui est non commutative puisque en général le commutateur de deux opérateurs quelconques n'est pas nul.

$$[L_1,L_2]=L_1 L_2-L_2 L_1\not= 0$$

A toute grandeur physique mesurable (ou mesurée) la physique classique associe une variable réelle dont la valeur numérique inconnue (ou connue) est un nombre. Ces variables se comportent donc comme des nombres et constituent une algèbre commutative.

Bien au contraire, les observables quantiques sont des opérateurs régis par une algèbre non commutative. Les structures mathématiques utilisées par la physique classique et la physique quantique sont donc fondamentalement différentes.