a) Base de représentation

Choisir une représentation de Schrödinger c'est choisir pour base les vecteurs propres d'un E.C.O.C. construit avec les observables de position. Dans le cas d'un système constitué d'une seule particule de spin nul, ces observables peuvent être les coordonnées cartésiennes $X~Y~Z$ ou les coordonnées sphériques $R~\Theta~\Phi$ . Bien entendu, ces deux groupes d'observables sont liées entre eux par des relations qui définissent des fonctions d'observables images des relations classiques :

$$X = R\sin\Theta\cos\Phi~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Y~=~R\sin\Theta\sin\Phi~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Z~=~R\cos\Theta$$

et les vecteurs propres de ces deux E.C.O.C. se correspondent de telle sorte que si :

$$x = r\sin\theta\cos\varphi~~~~~~~~~~ y~=~r\sin\theta\sin\varphi~~~~~~~~~~ z~=~\cos\theta$$

et avec :

$$r\ge 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0\le\theta\le\pi~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0\le\varphi\le 2\pi$$

alors :

$$\mid \vec{r}> = \mid x,y,z> ~=~ \mid r,\theta,\varphi> ~=~ \mid r,\Omega>$$

et pour un vecteur ket $\mid K>$ quelconque :

$$<x,y,z \mid K> = f(x,y,z) ~=~ g(r,\theta,\varphi) ~=~ <r,\theta,\varphi \mid K>$$

Le changement de variables peut être effectué à l'aide de la relation de fermeture :

$$\mathbf{1} = \int\,\mid\vec{r}>\,d^3 r <\vec{r}\mid ~=~ \int\,\mid r,\theta,\varphi>\,r^2\,dr\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\,<r,\theta,\varphi\mid$$

que l'on peut écrire symboliquement :

$$\mathbf{1} = \int\,\mid r,\Omega>\,r^2\,dr\,d\Omega\,<r,\Omega\mid$$

Les relations correspondantes d'orthonormalisation s'en déduisent :

$$<\vec{r}^{\,\prime}\mid\vec{r}> = \delta^3(\vec{r}^{\,\prime}-\vec{r}) ~=~ \delta(x^\prime-x)\,\delta(y^\prime-y)\,\delta(z^\prime-z)$$

$$<\vec{r}^{\,\prime},\Omega^\prime \mid \vec{r},\Omega> = \frac{\delta(r^\prime-r)}{r^2}\,\delta(\Omega^\prime-\Omega) ~=~\... ...delta(r^\prime-r)\,\delta(\theta^\prime-\theta)\,\delta(\varphi^\prime-\varphi)$$