b) L'impulsion radiale

Puisque l'énergie potentielle ne dépend que de $r$ , il est indiqué d'adopter les coordonnées sphériques $r,~\theta,~\varphi$ et nous sommes ainsi conduits à introduire la composante radiale de l'impulsion. Tenu compte de ce que les composantes des observables vectorielles $\vec{r}$ et $\vec{p}$ ne commutent pas, on est amené à symétriser l'expression classique de définition de telle sorte que :

$$p_r = \frac{1}{2}\,\left(\frac{\vec{r}}{r}~\vec{p} + \vec{p}~\frac{\vec{r}}{r}\right)$$

On remarque l'identité mathématique :

$$\frac{\partial}{\partial r} = \sum_i\,\frac{\partial x_i}{\partial r}\,\frac{\partial}{\partial... ...}\,\frac{\partial}{\partial x_i}~=~ \frac{\vec{r}}{r}\,{\vec{\bigtriangledown}}$$

$\vec{\bigtriangledown}$ désignant l'opérateur gradient, d'où :

$$\frac{\hbar}{i}\,\frac{\partial}{\partial r} = \frac{\vec{r}}{r}~\vec{p}$$

De même, de la relation mathématique :

$$\left( \frac{\partial}{\partial x_i}\,\frac{x_i}{r} \right)\,\psi(x,y,z) = \left(\frac{1}{r} - \frac{x_i^2}{r^3} + \frac{x_i}{r}\,\frac{\partial}{\partial x_i}\right)\,\psi(x,y,z)$$

on en déduit la relation entre opérateurs :

$$\vec{p}~\frac{\vec{r}}{r}\,\psi = \frac{\hbar}{i}\,\left(\frac{3}{r} - \frac{r^2}{r^3} + \frac{\vec{r}}{r}\,\vec{\bigtriangledown}\right)\,\psi$$

$$= \frac{\hbar}{i}\,\left(\frac{2}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right)\,\psi$$

d'où résulte finalement :

$$p_r = \frac{1}{2}~\frac{\hbar}{i}\,\left(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{2}{r}+\frac{\partial}{\partial r}\right)$$

$$= \frac{\hbar}{i}\,\left(\frac{1}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right)$$

ou encore :

$$p_r ~=~ \frac{\hbar}{i}\,\left(\frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r}~r\right)$$

Question 3-31 : Montrez que : $~~~[r,p_r]~=~i\hbar$ .

Question 3-32 : Montrez que la condition d'hermicité :

$$<\psi\mid p_r\mid\psi> = <\psi\mid p_r\mid\psi>^*$$

n'est satisfaite que pour des fonctions d'onde $\psi$ telles que :

$$\lim(r\,\psi) = 0~~~~~~~\mathrm{quand}~~~~r\to 0~~~\mathrm{ou}~~~r\to\infty$$

Question 3-33 : Déterminez les fonctions propres de $p_r$ et montrez que ces fonctions ne satisfont pas la condition précédente. Qu'en déduisez-vous ?