f) Etude de la particule libre

Si $\varepsilon>0$ et si $V(r)\,=\,W(r)\,=\,0\,$ , la particule est libre et l'équation radiale, avec $\rho\,=\,kr$ , se réduit à :

$$\left( \frac{d^2}{d\rho^2}+1-\frac{l(l+1)}{\rho^2} \right)\,u_l(r) =$$ 0

Les solutions régulières et irrégulières à l'origine sont respectivement $\rho\,j_l(\rho)$ et $\rho\,n_l(\rho)$ , où $j_l(\rho)$ et $n_l(\rho)$ désignent respectivement la fonction de Bessel sphérique et la fonction de Neumann sphérique. On définit également les fonctions de Hankel sphériques de $1^\mathrm{\grave{e}re}$ et $2^\mathrm{\grave{e}me}$ espèce.

$$h_l^{(1,2)}(\rho) = j_l(\rho)\pm i\,n_l(\rho)$$