Propriétés de ces fonctions

$\imath-$

$$\begin{array}{ccc} j_l(\rho) & = & P_l\,\sin\rho + Q_l\,\cos\... ... n_l(\rho) & = & Q_l\,\sin\rho - P_l\,\cos\rho \\ \end{array}$$

$P_l$ est un polynôme en $\frac{1}{\rho}$ d'ordre $l+1$ et de parité $(-1)^{l+1}$

$Q_l$ est un polynôme en $\frac{1}{\rho}$ d'ordre $l$ et de parité $(-1)^{l}$

soit par exemple :

$$j_0 = \frac{\sin\rho}{\rho}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~n_0 ~=~ \frac{\cos\rho}{\rho}$$

$$j_1 = \frac{\sin\rho}{\rho^2}-\frac{\cos\rho}{\rho}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ n_1~=~\frac{\cos\rho}{\rho^2} + \frac{\sin\rho}{\rho}$$

$\imath\imath-$ Si $r~\to~\infty$ :

$$\begin{array}{ccccccc} j_l(kr) & ~\sim~ & \scalebox{1.4}{$\fr... ...ikr}$}\,\exp -i\left(kr-\frac{l\,\pi}{2}\right) \\ \end{array}$$

Ces approximations sont valables dès lors que :

$$kr~>~\frac{1}{2}\,l\,(l+1)$$

$\imath\imath\imath-$ Si $r~\to~0$ :

$j_l(kr)~\to~0~~$ comme $r^l$

$n_l,~h_l^{(1)},~h_l^{(2)}$ ont un pôle d'ordre $l+1$

Si $\varepsilon<0$ soit $\gamma=\sqrt{-\varepsilon}$ . Il faut remplacer $k$ par $i\gamma$ et la seule solution bornée à l'infini est :

$$h_l^{(1)}(i\gamma\,r)~\sim~(-1)^{l+1}\,i^l\,\frac{e^{-\gamma\,r}}{\gamma\,r}~~\to~~0$$