c) Spectre d'énergie - Dégénérescence

En remplaçant le paramètre $\nu$ par sa valeur, on obtient, si $Z\,=\,1$ :

$$E_n = -\left(\frac{e^2}{\hbar c}\right)^2\,\frac{mc^2}{2n^2}$$   L'ensemble de ces valeurs négatives $E_n$ constitue le spectre d'énergie des états liés de l'atome d'hydrogène. Ce spectre est évidemment discret, il admet pour énergie de l'état fondamental : $$E_1 = -\left(\frac{e^2}{\hbar c}\right)^2\,\frac{mc^2}{2} ~=~ -13,5~\mathrm{eV}$$

et contient un ensemble infini dénombrable de niveaux puisque $n$ peut varier de 1 jusqu'à $+\infty$ . Lorsque $n\,\to\,+\infty$ , ces niveaux deviennent de plus en plus rapprochés et tendent à la limite vers la valeur $E\,=\,0$ qui constitue un point d'accumulation, et au-delà duquel commence le spectre continu des états de diffusion du continuum. On peut évidemment écrire :

$$E_n = \frac{E_1}{n^2}$$

de telle sorte que la différence d'énergie entre deux niveaux est de la forme :

$$\Delta_{n,m} = E_n - E_m ~=~ E_1\,\left( \frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2} \right)$$

conformément à la théorie de Bohr. Si cette différence d'énergie correspond à l'émission d'un photon de fréquence $\nu$ :

$$\nu = \frac{h\nu}{h} ~=~ \frac{\begin{array}{\vert c\vert}E_n-E_m\\ \en... ...ay}}{h} ~=~ c\,R_H\,\left( \frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2} \right)~~~~~~~~~~m\,>\,n$$

et la constante $R_H$ , dite de Rydberg, qui apparaît a pour valeur :

$$R_H = \frac{E_1}{c\,h} ~=~ \frac{2\pi^2\,me^4}{c\,h^3} ~=~ 1,097\,\mathrm{m}^{-1}$$

en complet accord avec les observations expérimentales. On retrouve bien ainsi le spectre de l'atome d'hydrogène, tel qu'il est représenté sur la figure ci-dessous :

Ce spectre d'énergie est dégénéré puisque chaque énergie quantifiée ne dépend que de $n$ , c'est-à-dire de la somme :

$$n = l+1+n^\prime$$

dont chaque valeur supérieure à 1 peut être obtenue en donnant au couple $l,n^\prime$ plusieurs systèmes de valeur elles-mêmes entières et non négatives. Plus précisément, pour chaque énergie $E_n$ , c'est-à-dire pour chaque valeur de l'entier $n$ , le moment cinétique $l$ peut prendre toutes les valeurs entières depuis 0 jusqu'à $n-1$ . La dégénérescence du niveau $E_n$ est donc :

$$\sum_{l\,=\,0}^{n-1}\,(2l+1) = n\,(n-1) + n ~=~ n^2$$