d) Fonctions propres - Nombres quantiques

A une valeur propre $E_n$ correspond donc toutes les fonctions propres du type :

$$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = Y^m_l(\theta,\varphi)\,\psi_{n,l}(r)$$

où $r\,\psi_{n,l}(r)$ désigne une solution normalisée de l'équation radiale, soit explicitement :

$$\psi_{n,l}(r) = N_{n,l}\,e^{-\frac{r}{na}}\,\sum_{p\,=\,0}^{n-l-1}\,(-1)^p\, \frac{(n-l-1)!\,(2l+1)!}{(n-l-1-p)!\,(2l+p+1)!\,p!}~\,\left(\frac{2r}{na}\right)^{l+p}$$

avec :

$$N_{n,l} = 2\,\left(\frac{1}{na}\right)^\frac{3}{2}\,\sqrt{\frac{(n+l)!}{n\,(n-l-1)!}}~\frac{1}{(2l+1)!}$$

Pour chaque énergie $E_n$ , à laquelle correspond une valeur positive de l'entier $n$ , on obtient l'ensemble de ces fonctions propres en donnant d'abord à $l$ et successivement, les valeurs $0,1,2,\ldots$ . Pour chacune de ces valeurs de $l$ on donne ensuite successivement à $m$ toutes les valeurs possibles :

$$m = -l~~~,~~~-l+1~~~,~~~-l+2~~~,~~~\ldots~~~,~~~0~~~,~~~1~~~,~~~2~~~,~~~\ldots~~~,~~~l$$

On dit que :

• $n$ est le nombre quantique principal
• $l$ est le nombre quantique orbital
• $m$ est le nombre quantique magnétique

On obtient ainsi un ensemble d'états propres qu'il est commode d'associer à leur valeur propre, comme cela est indiqué sur le tableau ci-contre :

Suivant une notation traditionnelle en spectroscopie, chaque état propre est désigné par le nombre entier positif $n$ suivi d'une lettre caractéristique du moment angulaire et conformément à la correspondance suivante : $$\begin{array}{ccccccccc} l &=& ~~~0~~&~1~~&~2~~&~3~~&~4~~&~5~... ...\mathrm{Etat}& & s & p & d & f & g & h & \ldots \\ \end{array}$$ L'ordre $N$ de dégénérescence est indiqué dans la colonne de gauche du tableau.