Orbites électroniques

Lorsque $l$ prend sa valeur maximale $l_{\mathrm{max}}~=~n-1$ la fonction d'onde devient plus simple et on obtient alors :

$$<r>_{n,n-1,m} = n\,\left(n+\frac{1}{2}\right)\,a$$

$$<r^2>_{n,n-1,m} = n^2\,\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\overset{ }{1}\right)\,a^2$$

On en déduit l'expression de l'écart quadratique radial :

$$\Delta r = \left[ <r^2> - <r>^2\right]^{\frac{1}{2}} ~=~ \frac{<r>}{\sqrt{2n+1}}$$

Ainsi, lorsque $n$ devient très grand, l'électron reste pratiquement localisé dans une coquille sphérique de rayon $n^2 a$ et dont l'épaisseur, de l'ordre de $\Delta r$ , est très faible. Par ailleurs, l'énergie du niveau excité $-\scalebox{1.4}{$\frac{e^2}{2n^2a}$}$ est la même que celle d'un électron classique décrivant une orbite circulaire de rayon $n^2 a$ . Sur cet exemple particulier, on retrouve bien les lois du mouvement classique lorsque les nombres quantiques prennent des valeurs élevées^III22. Tout se passe comme si l'électron parcourait des orbites circulaires de rayon $n^2 a$ .