e) Etat fondamental et premiers états excités

Il est intéressant d'indiquer les premières fonctions propres de l'atome d'hydrogène.

Pour $n\,=\,1$ , on obtient la fonction d'onde de l'état fondamental :

$$\psi_{1,0,0}(\vec{r}) = (\pi a^3)^{-\frac{1}{2}}\,e^{-\frac{r}{a}}$$

Cette fonction est indépendante de $\theta$ et $\varphi$ et représente donc un état qui possède la symétrie sphérique. D'une façon plus générale, les états $s$ pour lesquels $l\,=\,0$ ne dépendent pas des variables angulaires et sont sphériques. On obtient ainsi pour les états $s$ avec $n\,=\,2$ et $n\,=\,3$ :

$$\psi_{2,0,0}(\vec{r}) = \frac{1}{4}\,(2\pi a^3)^{-\frac{1}{2}}\,\left(2-\frac{r}{a}\right)\,e^{-\frac{r}{2a}}$$

$$\psi_{3,0,0}(\vec{r}) = \frac{1}{81}\,(2\pi a^3)^{-\frac{1}{2}}\,\left(27-18\,\frac{r}{a}+2\,\frac{r^2}{a^2}\right)\,e^{-\frac{r}{3a}}$$

On remarquera que la probabilité de trouver l'électron dans une coquille sphérique de rayon $r$ et d'épaisseur $dr$ est donnée par l'expression :

$$\mathcal{P}(r)\,dr = \int_{4\pi}\,\begin{array}{\vert c\vert}\psi(\vec{r})\\ \end{array}^{\,2}\,r^2\,dr\,d\Omega$$

Dans le cas où $\psi(\vec{r})\,=\,\psi(r)$ il vient :

$$\mathcal{P}(r)\,dr = 4\pi\,r^2\,\begin{array}{\vert c\vert}\psi(r)\\ \end{array}^{\,2}\,dr$$

La fonction $\mathcal{P}(r)\,dr$ qui donne la probabilité cherchée est indiquée sur la figure ci-contre dans le cas des trois premiers états propres, définis ci-dessus. On notera les changements d'échelles en abscisse et en ordonnée, dans les trois cas considérés. Dans le cas général où $l\,\not=\,0$ , les fonctions d'onde présentent une dépendance, en $\theta$ et $\varphi$ portée par les harmoniques sphériques $Y^m_l(\theta,\varphi)$ . Les distributions de probabilité de présence sont alors plus complexes. Certains cas sont illustrés sur les figures ci-contre.

Il est intéressant de connaître la valeur moyenne de $r$ et de $r^2$ dans l'état quantique représenté par la fonction d'onde $\psi_{n,l,m}(r)$ :

$$<r>_{n,l,m} = <n,l,m\mid r \mid n,l,m> ~=~ \int\,\begin{array}{\vert c\vert}\psi_{n,l,m}(\vec{r})\\ \end{array}^{\,2}\,r\,d^3r$$

$$<r^2>_{n,l,m} = <n,l,m\mid r^2\mid n,l,m> ~=~ \int\,\begin{array}{\vert c\vert}\psi_{n,l,m}(\vec)\\ \end{array}^{\,2}\,r^2\,d^3r$$

On trouve ainsi notamment :

$$<r>_{1,0,0} = <r>_{1s} ~=~ \frac{3}{2}\,a$$

$$<r>_{n,l,m} = \frac{1}{2}\,a\,[3n^2 - l\,(l+1)]$$

le paramètre $a$ ayant été défini ci-dessus :

$$a = \frac{\hbar^2}{m\,e^2} ~=~ 0,529\cdot 10^{-8}\,\mathrm{cm} ~=~ 0,529\,\overset{\circ}{\mathrm{A}}$$

On notera soigneusement l'ordre de grandeur ( $1\,\overset{\circ}{\mathrm{A}}~=~10^{-8}$ cm) des dimensions de l'atome d'hydrogène dans ses premiers états. On remarquera que l'électron est d'autant plus éloigné en moyenne du proton que $n$ est grand.