e) Application

Considérons en particulier la diffusion élastique de deux particules chargées de spin 0, de masses $m_1\,=\,m$ et $m_2\,=\,M$ et de charges électriques $Z\,e$ et $Z^\prime\,e$ ($-e$ désignant la charge électrique de l'électron). La conservation du 4-vecteur impulsion-énergie totale implique :

$$p(m) + p(M) = p^\prime + P^\prime$$

Une application de l'électrodynamique quantique fournit l'expression des quantités :

$$<f\mid\mathcal{M}\mid i> = Z\,Z^\prime\,e^2~\frac{(p+p^\prime)\,(P+P^\prime)}{(p-p^\prime)^2}$$

d'où on en déduit, dans le cas où on peut faire l'approximation de basse énergie :

$$E_1 = (m^2 + K^2)^\frac{1}{2}~\sim~m~\ll~M$$

$$<f\mid\mathcal{M}\mid i> = Z\,Z^\prime\,e^2~\frac{M}{2K\,\sin^2\frac{\theta}{2}}$$

d'où on déduit finalement la formule de Rutherford : $$\begin{array}{\vert c\vert}\hline { }\\ ~~ \scalebox{1.4}{$\f... ...frac{1}{\sin^4\frac{\theta}{2}}$} ~~\\ { }\\ \hline \end{array}$$