Définition

Considérons deux espaces vectoriels que nous supposerons, pour simplifier, de dimensions finies : $F_n$ à $n$ dimensions et $G_m$ à $m$ dimensions. Supposons qu'à ces deux espaces, nous puissions associer un troisième espace vectoriel, de dimension $nm$ , que nous désignerons par $H_{nm}$ :

$$F_n\otimes G_m=H_{nm}$$

tel qu'entre ses éléments et ceux des espaces $F_n$ et $G_m$ , on puisse établir une correspondance telle qu'à tout couple ordonné, formé d'un vecteur quelconque $\mid f>\,\in\, F_n$ , et d'un vecteur quelconque $\mid g>\,\in\, G_m$ , on puisse faire correspondre un vecteur bien déterminé noté :

$$\mid f>\otimes\,\mid g>~\in~F_n\otimes G_m$$

cette correspondance satisfaisant aux conditions suivantes :

$\imath-$ $\mid f>\otimes\,(\mid g^1>+\mid g^2>)=\mid f>\otimes\,\mid g^1>+\mid f>\otimes\,\mid g^2>$

$\imath\imath-$ $(\lambda\mid f>)\otimes\,\mid g>=\mid f>\otimes\,(\lambda\mid g>)= \lambda(\mid f>\otimes\,\mid g>)$

$\imath\imath\imath-$ Si $\{\mid f^i>\}$ et $\{\mid g^j>\}$ désignent deux bases, la première de $F_n$ , la seconde de $G_m$ , les produits tensoriels :

$$\mid f^i>\otimes\,\mid g^j>=\mid h^{ij}>$$

forment une base de l'espace produit $H_{nm}$ .

Lorsque ces axiomes sont satisfaits, on dit que l'espace $H_{nm}$ est le produit tensoriel des espaces $F_n$ et $G_m$ , et un vecteur tel que :

$$\mid h^{\prime}>=\mid f>\otimes\,\mid g>$$

est appelé le produit tensoriel de $\mid f>$ et $\mid g>$ . Un tel vecteur peut être décomposé sur la base $\{\mid h^{ij}>\}$ :

$$\mid h^{\prime}>=f_i\,\mid f^i>\otimes\,g_j\,\mid g^j>=h^{\prime}_{ij}\,\mid h^{ij}>$$

avec :

$$h^{\prime}_{ij}=f_i\,g_j~~~~~~~~(i=1,2,\ldots,n~~et~~j=1,2,\ldots,m)$$

et admet $nm$ composantes $h^{\prime}_{ij}$ mais qui ne sont pas indépendantes, puisque ces $nm$ composantes dépendent seulement de $n+m$ composantes indépendantes : les $n$ composantes de $\mid f>$ et les $m$ composantes de $\mid g>$ . Au contraire, un vecteur quelconque de l'espace $H_{nm}$ :

$$\mid h>=h_{ij}\,\mid h^{ij}>$$

admet $nm$ composantes $h_{ij}$ indépendantes.

Les vecteurs produits tensoriels du type $\mid h^{\prime}>$ sont donc des vecteurs très particuliers de l'espace $H_{nm}$ .

Nous remarquons donc, et cette remarque aura, comme nous le verrons ci-après, des conséquences capitales, qu'un vecteur quelconque $\mid h>$ de l'espace produit $H_{nm}$ ne peut être décomposé en un produit tensoriel :

$$\mid h>\not = \mid f>\otimes\,\mid g>$$

$$\mathrm{avec}~~~~~~~~\mid h>\,\in\,H_{nm}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mid f>\,\in\,F_n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mid g>\,\in\,G_m$$