Remarque

On notera soigneusement qu'une telle fonction d'onde dépendant de six variables $x_1,y_1,z_1,$ $x_2,y_2,z_2$ ne peut être considérée comme définissant une onde classique se déplaçant dans l'espace physique à trois dimensions. La fonction d'onde, comme le vecteur $\mid \Psi>$ qu'elle représente, est définie dans un espace, non pas à six dimensions parce que six observables de base, mais dont le nombre de dimensions est infini, puisque cet espace est sous-tendu par les vecteurs $\mid x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2>$ .

Par application du postulat de Born, connaître la fonction d'onde $\Psi(\vec{r_1},\vec{r_2})$ permet de répondre immédiatement à la question :

$$\mathcal{P}rob\left( \begin{array}{c} M_1\,\in\,dV_1\\ M_2\,... ..._1\\ \vec{r^\prime_2}\,\in\,dV_2\\ \end{array}\right. \right)$$

Si la fonction $\Psi$ est factorisable :

$$\Psi(\vec{r_1},\vec{r_2})=f(\vec{r_1}).f(\vec{r_2})$$

la probabilité précédente l'est également :

$$\mathcal{P}rob\left( \begin{array}{c} M_1\,\in\,dV_1\\ M_2\,... ...= \mathcal{P}rob(M_1\,\in\,dV_1).\mathcal{P}rob(M_2\,\in\,dV_2)$$

et les deux particules sont alors indépendantes.

En général la fonction $\Psi(\vec{r_1},\vec{r_2})$ n'est pas factorisable, ce qui correspond au fait que le vecteur ket $\mid \Psi>$ n'est pas lui-même un produit tensoriel de type :

$$\mid \Psi>\,=\mid f>\otimes\,\mid g>$$

Les deux particules ne sont pas alors indépendantes, ce qui peut résulter de leur interaction, par exemple électromagnétique. Précisément, l'observable qui représente cette énergie potentielle d'interaction :

$$V=\frac{-e\hspace{-.17cm}\vert\,^2}{\mid \vec{r_1}-\vec{r_2}\mid }= \frac{-e\hspace{-.17cm}\vert\,^2}{\sqrt{(X_2-X_1)^2+(Y_2-Y_1)^2+(Z_2-Z_1)^2}}$$

n'est évidemment pas décomposable en une somme et ses fonctions propres en un produit dans la représentation choisie.