a) Deux spins $\frac{1}{2}$

Soient deux particules de spin $s_1$ et $s_2$ avec $s_1=s_2=\frac{1}{2}$ et donc telles que :

$$\vec{s_1}^2=s_1\,(s_1+1)\,\hbar^2=\frac{3}{4}\,\hbar^2~~~~~~~~~~~~\mathrm{et} ~~~~~~~~~~~~\vec{s_2}^2=s_2\,(s_2+1)\,\hbar^2=\frac{3}{4}\,\hbar^2$$

et soit $\vec{S}$ le spin total :

$$\vec{S}=\vec{s_1}+\vec{s_2}~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~~~ \vec{S}^2=S\,(S+1)\,\hbar^2$$

$S$ ne peut prendre que deux valeurs. A la valeur $S=s_1-s_2=0$ correspond un état singlet :

$$\mid S,M>=\mid 0,0>~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~~~\vec{S}^2=0$$

A la valeur $S=s_1+s_2=1$ correspond un triplet d'état :

$$\mid S,M>=\mid 1,-1>~~~~~~\mid 1,0>~~~~~~\mid 1,+1>~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~ \vec{S}^2=2\hbar^2$$

Il est commode d'introduire les matrices $\vec{\sigma}$ de Pauli en écrivant :

$$\vec{s_1}=\frac{\hbar}{2}\,\vec{\sigma}_1~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~... ...2}\,\vec{\sigma}_2~~~~~~~~~~~~ \left(\vec{\sigma}_1^2=\vec{\sigma}_2^2=3\right)$$

et on remarque :

$$\vec{S}^2=S\,(S+1)\,\hbar^2= \frac{\hbar^2}{4}\,\left(\vec{\sigma}_1+\vec{\sigma}_2\right)^2= \hbar^2\,\frac{3+\vec{\sigma}_1\,\vec{\sigma}_2}{2}$$

et donc :

$$\vec{\sigma}_1\,\vec{\sigma}_2~=~\left\lbrace \begin{array}{l... ...rm{dans~les~\acute{e}tats~triplets~~S=1} \\ \end{array}\right.$$

Dans l'atome d'hydrogène, les moments magnétiques de l'électron et du proton associés à leurs spins :

$$\vec{\mathcal{M}}_e=\gamma_e\,\vec{s}_e~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \vec{\mathcal{M}}_p=\gamma_p\,\vec{s}_p$$

interagissent pour donner naissance à une énergie de couplage de la forme :

$$W=-A\,\vec{\mathcal{M}}_e\,\vec{\mathcal{M}}_p= -B\,\vec{s}_e\,\vec{s}_p=-C\,\vec{\sigma}_e\,\vec{\sigma}_p$$

En particulier, pour les premiers états de l'atome d'hydrogène, cette énergie est minimum $W=-C$ dans un état singulet, qui sera donc l'état fondamental de cet atome. L'autre mode de couplage des deux spins correspond au triplet des états $S=1$ , et pour lesquels $W=3\,C$ . A ce triplet correspond le premier état excité, qui se désexcite vers l'état fondamental en émettant la fameuse raie spectrale de longueur d'onde $\lambda=21$ cm.

D'une façon semblable, les spins $\vec{s_1}$ et $\vec{s_2}$ des deux électrons de l'atome d'hélium peuvent se coupler pour former des états singulets $S=0$ , dont l'ensemble constitue le parahélium, ou des états triplets $S=1$ , dont l'ensemble constitue l'orthohélium.