c) Exponentielle d'une observable : $e^{A}$

$e^{A}~\mid a,x>=e^{a}~\mid a,x>$

$e^{A}$ est toujours définie et puisque :

$$e^{a}=1+\frac{a}{1!}+\frac{a^2}{2!}+\ldots+\frac{a^n}{n!}+\ldots$$

il en résulte toujours :

$$e^{A}=1+\frac{A}{1!}+\frac{A^2}{2!}+\ldots+\frac{A^n}{n!}+\ldots$$

On peut alors démontrer l'identité mathématique suivante :

$$e^{A+B}=e^A.e^B.e^{-\frac{1}{2}[A,B]}$$

On notera soigneusement que si :

$$[A,B]\not=0~~\longrightarrow~~e^{A+B}\not=e^A.e^B$$