c) Observables vectorielles

Au contraire, pour d'autres grandeurs physiques, les composantes $P_x,P_y,P_z$ de l'impulsion $\vec{P}$ d'une particule par exemple, leur définition dépend de l'orientation du repère $Oxyz$ . Toutefois, connaissant les mesures des trois composantes seulement, dans un repère quelconque, on peut en déduire la mesure de toute composante dans tout autre repère. Cette remarquable propriété résulte de ce que l'impulsion physique $\vec{P}$ peut classiquement être considéré comme un vecteur mathématique, et jouit alors de toutes les propriétés d'un vecteur, notamment dans une rotation du repère. Si donc $\vec{e}_i(\vec{e^\prime}_i)$ avec $i=1,2,3$ désignent les vecteurs unitaires des axes avant et après la rotation $\mathcal{R}$ , et $\vec{v}$ un vecteur^I32 quelconque :

$$\vec{e^\prime}_i=\mathcal{R}(\vec{e}_i)=\vec{e}_j \mathcal{R}_{ji}~~~\mathrm{et}~~~ \vec{v}=v_j \vec{e}_j=v_i^\prime \vec{e^\prime}_i$$

d'où $~~~~v_j=\mathcal{R}_{ji}~v_i^\prime ~~~~$ et $~~~~v_i^\prime=\mathcal{R}_{ij}^{-1} v_j=v_j R_{ji}$

Chacune des composantes, étant une grandeur physique mesurable, est représentée par une observable quantique et la loi de transformation de ces observables images est la même que celles des grandeurs physiques qu'elles représentent, de telle sorte que, $V_j$ désignant l'observable image de la grandeur $v_j$ :

$$V_i^\prime = V_j \mathcal{R}_{ji}$$

D'une façon très générale, une observable vectorielle est l'observable image d'une grandeur classique vectorielle. C'est donc en fait un ensemble d'observables dont chacune $V_u$ est liée à une direction quelconque de l'espace, et s'exprime en fonction des trois observables de base, comme pour un vecteur classique :

$$V_u = u_x V_x + u_y V_y + u_z V_z~~~~~~~\vec{u}=(u_x,u_y,u_z)~~~~ \mathrm{et}~~~~\mid \vec{u}\mid =1$$

et la loi de transformation de ses composantes est la même que celle des vecteurs de base :

$$\vec{e^\prime}_i=\vec{e}_j \mathrm{R}_{ji}~~~~~~~~~~~V_i^\prime = V_j \mathrm{R}_{ji}$$

Les principales observables vectorielles associées à une particule sont :

          la position $\vec{R}$ : $X,Y,Z$

          l'impulsion $\vec{P}$ : $P_x,P_y,P_z$

          le moment cinétique $\vec{L}$ : $L_x,L_y,L_z$