b) Observables scalaires

Les résultats de mesure de certaines des grandeurs physiques sont indépendants de l'orientation du repère dans l'espace. Ces grandeurs physiques sont alors appelées des grandeurs scalaires. C'est le cas en particulier de la distance à l'origine $O$ d'une particule et de la grandeur de son impulsion bien que ces grandeurs $\hat{R}$ ou $\hat{P}$ soient elles-mêmes définies par des composantes qui, elles, dépendent de l'orientation de ce repère :

$$\vec{R}^2=X^2+Y^2+Z^2=X^{\prime 2}+Y^{\prime 2}+Z^{\prime 2}=\vec{R}^{\prime 2}$$

avec $~~~X\not=X^\prime~~~~~Y\not=Y^\prime~~~~~Z\not=Z^\prime$

$$\vec{P}^2=P_x^2+P_y^2+P_z^2=P_x^{\prime 2}+P_y^{\prime 2}+P_z^{\prime 2}= \vec{P}^{\prime 2}$$

avec $~~~P_x\not=P_x^\prime~~~~~P_y\not=P_y^\prime~~~~~ P_z\not=P_z^\prime$

Question 1-20 : Soit un système physique isolé dans l'espace (c'est-à-dire sans interaction avec l'extérieur) et constitué de particules en mouvement, dont les interactions mutuelles ne dépendent que des distances qui les séparent. Montrez que l'énergie d'un tel système est une grandeur scalaire. Trouvez des conditions moins restrictives.

Si une grandeur physique classique est scalaire, son image quantique est elle-même invariante dans les rotations du repère. Une telle observable est appelée une observable scalaire.