e) Algèbre $SU(2)$

Il y a lieu de remarquer que les trois observables $J_x,J_y,J_z$ engendrent par addition un espace vectoriel d'opérateurs, doté d'une seconde opération interne, le commutateur, qui est une sorte de multiplication non commutative. La structure mathématique obtenue est une algèbre non commutative appelée : l'algèbre $SU(2)$ .

Dans cette algèbre, il est commode d'adopter une autre base, celle dite de Cartan, et constituée des trois opérateurs :

$$J_{-}=J_x-iJ_y=J_{+}^\dagger~~~~~~~~~~~~~~~~J_z=J_z^\dagger~~~~~~~~~~~~~~~~J_{+}=J_x+iJ_y=J_{-}^\dagger$$

Les relations de commutation prennent alors la forme standard :

$[J_x,J_+]=\hbar J_+$

$[J_z,J_-]=-\hbar J_-$

$[J_+,J_-]=2\hbar J_z$

et avec $\vec{J}^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2={{1}\over{2}}(J_+J_-+J_-J_+)+J_z^2$ on remarque les relations :

$J_+J_-=\vec{J}^2-J_z^2+\hbar J_z$

$J_-J_+=\vec{J}^2-J_z^2-\hbar J_z$

et enfin les relations de commutation :

$$[\vec{J}^2,J_x]=[\vec{J}^2,J_y]=[\vec{J}^2,J_z]=[\vec{J}^2,J_u]=0$$

Dans cette algèbre $SU(2)$ on démontre que toute fonction des seules observables $J_x,J_y$ et $J_z$ et qui commute avec $\vec{J}^2$ et l'une, par exemple $J_z$ , d'entre elles, est nécessairement une fonction de ces observables $\vec{J}^2$ et $J_z$ . Il en résulte^I34 que $\vec{J}^2$ et $J_z$ constituent un E.C.O.C. de cette algèbre.

Nous allons montrer que les relations de commutation caractéristiques d'une observable moment angulaire sont suffisamment contraignantes pour déterminer le spectre des valeurs propres, et l'expression matricielle des observables images de ses composantes.