g) Vecteurs propres

Soit le vecteur propre $\mid j,-j>$ on en déduit, par application répétée de $J_+$ , une suite de $2j+1$ vecteurs $\mid j,m>$ , tous vecteurs propres de $\vec{J}^2$ avec la même valeur propre $j(j+1)\hbar^2$ et en même temps vecteurs propres de $J_z$ avec les valeurs propres $m\hbar$ avec $-j\leq m\leq+j$ soit :

$$\begin{array}{rcccc} \mid j,-j> & \cdots & J_+\mid j,-j> & \c... ...\ & & & & \\ m=-j& \cdots & -j+1 & \cdots & +j\\ \end{array}$$

Tout opérateur fonction des composantes de $\vec{J}$ et appliqué à un élément de cette suite engendre un vecteur dépendant de cette même suite. Les vecteurs de cette suite forment la base non normalisée d'un espace à $2j+1$ dimensions.

On en déduit une base orthonormée en procédant comme suit. Soit $\mid j,m>$ les vecteurs de cette base orthonormée :

$$<j,m\mid j,m^\prime>=\delta_{m,m^\prime}$$

et soit :

$$J_+\,\mid j,m>=C_m\,\mid j,m+1>$$

Calculons la norme de $J_+\mid j,m>$ d'où l'on déduit la valeur de $C_m$ :

$$<j,m\mid J_- J_+\mid j,m>=\mid C_m\mid ^2<j,m+1\mid j,m+1>\hbar^2$$

$$=[j(j+1)-m(m+1)]<j,m\mid j,m>\hbar^2$$

et donc :

$$\mid C_m\mid ^2=\left[j(j+1)-m(m+1)\right]~\hbar^2$$

La constante $C_m$ est donc définie à un facteur de phase $e^{i\alpha_m}$ près. Par convention on choisit $C_m$ réel et positif. Il en résulte :

$C_m=\sqrt{j(j+1)-m(m+1)}~\hbar$

$J_+\mid j,m>=\sqrt{j(j+1)-m(m+1)}~\hbar~\mid j,m+1>$

$J_-\mid j,m>=\sqrt{j(j+1)-m(m-1)}~\hbar~\mid j,m-1>$

Soit $A$ un ensemble d'observables qu'il faut adjoindre à $\vec{J}^2$ et $J_z$ pour constituer un E.C.O.C. et désignons par $\alpha$ les valeurs propres de $A$ . Soit $\mid \alpha,j,m>$ un ensemble de vecteurs propres communs à $A$ , $\vec{J}^2$ et $J_z$ , constitué d'un ensemble de suites $\mid j,m>$ dont chacune est associée à une valeur propre $\alpha$ et a été construite selon la méthode précédente. Un tel ensemble s'appelle une base standard. Sur une telle base, les opérateurs de moment angulaire admettent des représentations matricielles standards :

$<j,m\mid J_+\mid j^\prime,m^\prime>=\sqrt{j(j+1)-mm^\prime}~\hbar~ \delta_{j,j^\prime}~\delta_{m,m^\prime+1}$

$<j,m\mid J_-\mid j^\prime,m^\prime>=\sqrt{j(j+1)-mm^\prime}~\hbar~ \delta_{j,j^\prime}~\delta_{m,m^\prime-1}$

$<j,m\mid J_x\mid j^\prime,m^\prime>=\sqrt{j(j+1)-mm^\prime}~\hbar~ {{1}\over{2}}~(\delta_{m,m^\prime+1}+\delta_{m+1,m^\prime})~\delta_{j,j^\prime}$

$<j,m\mid J_y\mid j^\prime,m^\prime>=\sqrt{j(j+1)-mm^\prime}~\hbar~ {{-i}\over{2}}~(\delta_{m,m^\prime+1}-\delta_{m+1,m^\prime})~\delta_{j,j^\prime}$

$<j,m\mid J_z\mid j^\prime,m^\prime>=m\hbar~\delta_{j,j^\prime}~ \delta_{m,m^\prime}$

Si, par exemple $j={{1}\over{2}}$ , on trouve avec :

$$\vec{J}={{\hbar}\over{2}}~\vec{\sigma}$$

$$\sigma_x=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\righ... ...~~~~~~~~~~ \sigma_z=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$

Ces trois matrices s'appellent les matrices de Pauli.

Question 1-21 : Dans le cas où $j=1$ écrivez explicitement les matrices représentatives des opérateurs $J_+,J_-$ et des observables $\vec{J}^2,J_x,J_y,J_z$ en classant les vecteurs de base $\mid j,m>$ dans l'ordre des valeurs de $m$ décroissantes.