b) Trace

Considérons l'opérateur densité $\rho$ d'un mélange quelconque d'états eux-mêmes quelconques, et représentés par des vecteurs kets normés mais pas nécessairement orthogonaux :

$$\rho=\sum\limits_n\,\mid \Psi^n>\,\mathcal{P}_n\,<\Psi^n\mid ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \sum\limits_n\,\mathcal{P}_n=1$$

Chacun des états $\mid \Psi^n>$ admet une décomposition spectrale sur une base quelconque orthonormée :

$$\mid \Psi^n>=\sum\limits_i\,\Psi^n_i\,\mid \,i>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \sum\limits_i\,\begin{array}{\vert c\vert}\Psi^n_i\\ \end{array}^{~2}=1$$

d'où résulte une représentation matricielle de $\rho$ , appelée matrice statistique :

$$\rho_{ij}=<i\,\mid \,\rho\,\mid \,j>= \sum\limits_n\,\Psi^{n~*}_i\,\mathcal{P}_n\,\Psi^n_j$$

et enfin la valeur de la trace :

$$\mathrm{Tr}\,\rho=\sum\limits_i\,\rho_{ii}= \sum\limits_n\,\mathc... ...array}{\vert c\vert}\Psi^n_i\\ \end{array}^{~2}= \sum\limits_n\,\mathcal{P}_n=1$$

	$\mathrm{Tr}\,\rho=1$

équation qui exprime la normalisation des probabilités.