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c) Valeurs propres et vecteurs propres

Les observables $ \vec{L}^{\,2}$ et $ L_z$ qui commutent, admettent un système complet de vecteurs propres communs. Les valeurs propres correspondantes ont déjà été déterminées dans une étude précédenteIII17 :

$\displaystyle \vec{L}^{\,2}\,\mid l,m>$ $\displaystyle =$ $\displaystyle l(l+1)\,\hbar^2\,\mid l,m>~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~ L_z\,\mid l,m>~=~m\hbar\,\mid l,m>$  

Tenu compte de l'observation précédente, les vecteurs propres $ \mid l,m>$ sont représentés mathématiquement dans la base sphérique par des fonctions de $ \theta$ et $ \varphi$ seulement :

$\displaystyle <\Omega\mid l,m>$ $\displaystyle =$ $\displaystyle <\theta,\varphi\mid l,m> ~=~ Y^m_l(\theta,\varphi)~=~Y^m_l(\Omega)$  

Ces fonctions $ Y^m_l$ représentatives dans l'espace $ \mathcal{H}_\Omega$ des vecteurs propres $ \mid l,m>$ s'appellent les harmoniques sphériques. Ce sont les éléments de la matrice de changement de base entre la base initiale $ \{\mid\Omega>=\mid\theta,\varphi>\}$ et la base $ \{\mid l,m>\}$ .


Arnaud Balandras 2005-04-02