Remarque

De cette définition dérive immédiatement tout un ensemble de propriétés très importantes. Si $S$ désigne un opérateur linéaire quelconque :

$$~~~~<f\mid S\mid g>=<f\mid x>=<x\mid f>^*=<g\mid S^\dagger\mid f>^*$$

$$\imath-~~\begin{array}{\vert c\vert}\hline { }\\ ~~<f\mid S\mid g>^*~\equiv~<g\mid S^\dagger\mid f>~~\\ { }\\ \hline \end{array}$$

De même $<f\mid S\mid g>=<g\mid S^\dagger\mid f>^*=<f\mid (S^\dagger)^\dagger\mid g>$

et puisque $<f\mid$ et $\mid g>$ sont quelconques :

$$\imath\imath-~~\begin{array}{\vert c\vert}\hline { }\\ ~~(S^\dagger)^\dagger=S~~\\ { }\\ \hline \end{array}$$

On peut également écrire :

$$<f\mid (ST)^\dagger\mid g>=<g\mid (ST)\mid f>^*=(<g\mid S)(T(\mid f>)^*=<f\mid T^\dagger S^\dagger\mid g>$$

d'où, puisque $<f\mid$ et $\mid g>$ sont quelconques :

$$\imath\imath\imath-~~\begin{array}{\vert c\vert}\hline { }\\ ~~(ST)^\dagger=T^\dagger S^\dagger~~\\ { }\\ \hline \end{array}$$

Question 1-4 : Soit trois opérateurs hermitiques quelconques A,B et C. Démontrez que les opérateurs P et Q suivants sont également hermitiques :

P=AB + BA      Q=i(AB-BA)

Calculer l'opérateur hermitique adjoint $(ABC)^\dagger$ .

Question 1-5 : A désignant un opérateur hermitique, m un entier positif et $\mid f>$ un vecteur ket quelconque, démontrez :

Si $A^m\mid f>=0~~\Longrightarrow~~A\mid f>=0$