b) Interprétation

Cette inégalité indique que la dispersion en énergie de l'état d'un système fixe une borne inférieure à sa durée de vie moyenne :

$$\Delta t_\Psi\geq\frac{\hbar}{2\,\Delta E_\Psi}$$

Notamment, si le système est dans un de ses états propres d'énergie, $\Delta E_\Psi$ est nul, et la durée de vie $\Delta t_\Psi$ est infinie. C'est le cas des solutions particulières de l'équation de Schrödinger, qui ont été appelées des solutions stationnaires.

La précédente inégalité présente une grande analogie formelle avec les autres inégalités de Heisenberg telles que :

$$\Delta X.\Delta P_x\geq\frac{\hbar}{2}$$

$$\Delta Y.\Delta P_y\geq\frac{\hbar}{2}$$

$$\Delta Z.\Delta P_z\geq\frac{\hbar}{2}$$

Toutefois, il y a lieu de rappeler ici que ces trois inégalités font toutes intervenir des écarts-types d'observables, tandis que $\Delta t_\Psi$ n'est pas un tel écart-type, puisque selon la mécanique quantique non relativiste, le temps $t$ n'est pas représenté par une observable quantique.

Cependant, on peut remarquer que la durée de vie d'un état peut être une grandeur mesurable aléatoire. Il en est ainsi par exemple, de la durée de vie d'un état excité atomique, puisque l'instant $t$ de sa désintégration est imprévisible. Dès lors, $\Delta t$ mesure l'indétermination de la date $t$ de cet événement. D'une manière analogue, nous avons déjà remarqué^IV9 que la dispersion en impulsion, et donc également en énergie $\Delta E$ , d'un paquet d'ondes est liée à l'indétermination $\Delta t$ qui frappe l'instant $t$ de passage du centre $C$ de ce paquet d'ondes en un point $M$ d'observation, par la même relation :

$$\Delta E.\Delta t\sim\frac{\hbar}{2}$$

tandis que la localisation éventuelle $X,Y,Z$ de la particule au voisinage de $C$ est elle-même frappée des indéterminations $\Delta X, \Delta Y$ et $\Delta Z$ . Dès lors, et dans ce cas, les quatre inégalités précédentes de Heisenberg peuvent être rassemblées en une seule qui est :

$$\begin{array}{\vert ccc\vert} \hline & & \\ ~ & \Delta\overs... ...{\sim}{P}\geq\frac{\hbar}{2} & ~ \\ & & \\ \hline \end{array}$$

$\Delta\overset{\sim}{X}$ désignant les quatre indéterminations qui affectent les coordonnées du 4-vecteur événe-ment : détection de la particule au point $(X,Y,Z)$ à l'instant $t$ , et par ailleurs $\Delta\overset{\sim}{P}$ désignant les quatre indéterminations qui affectent les coordonnées $P_x,P_y,P_z$ et $E$ du 4-vecteur impul-sion-énergie de cette particule.