b) Conséquences

Supposons que le système étudié soit initialement dans un état $\mid \Psi(t_0)>$ qui soit état propre d'une telle observable :

$$\Omega\,\mid \Psi(t_0)>=\omega\,\mid \Psi(t_0)>~~~~~~~\hat{\Omega}=\omega$$

Au bout d'un temps $t$ , l'état du système sera :

$$\mid \Psi(t)>=\mathcal{U}(t,t_0)\,\mid \Psi(t_0)>$$

et ce nouvel état sera encore état propre de $\Omega$ . En effet :

$$\Omega\mid \Psi(t)>=\Omega\,\mathcal{U}(t,t_0)\,\mid \Psi(t_0)>$$

et, si $\Omega$ est une constante du mouvement :

$$\Omega\,\mathcal{U}(t,t_0)=\mathcal{U}(t,t_0)\,\Omega$$

et donc :

$$\Omega\mid \Psi(t)>=\mathcal{U}(t,t_0)\,\Omega\mid \Psi(t_0)>= \omega\,\mathcal{U}(t,t_0)\,\mid \Psi(t_0)>$$

$$\Omega\,\mid \Psi(t)>=\omega\,\mid \Psi(t)>~~~~~~~\hat{\Omega}=\omega$$

Ainsi, le nouvel état du système , à l'instant $t$ , demeure que que soit $t$ , un état propre de $\Omega$ avec la même valeur propre $\omega$ . Autrement dit la valeur de $\hat{\Omega}$ :

$$\hat{\Omega}=\omega$$

est conservée au cours de l'évolution du système.

Si la base de représentation choisie est constituée des vecteurs propres $\mid \omega,x>$ de $\Omega$ , $x$ désignant un ensemble de valeurs propres des observables $X$ qu'il faut adjoindre à $\Omega$ pour constituer un E.C.O.C., et si $\Omega$ est une constante du mouvement qui commute avec $H$ , et donc aussi avec $\mathcal{U}$ :

$$0=<\omega^\prime,x^\prime\mid \Omega\,\mathcal{U}-\mathcal{U}\,\O... ...omega^\prime-\omega)\,<\omega^\prime,x^\prime\mid \,\mathcal{U}\,\mid \omega,x>$$

et il en résulte que les éléments de matrice de $\mathcal{U}$ sont diagonaux en $\omega$ :

$$<\omega^\prime,x^\prime\mid \,\mathcal{U}\,\mid \omega,x>= \delta(\omega^\prime-\omega)\,\mathcal{U}_{x^\prime,x}(\omega)$$

Question 4-4 : Démontrez que, quel que soit l'état d'évolution d'un système, les valeurs moyennes de ses constantes du mouvement sont toujours conservées au cours du temps.