Le mode ``Heisenberg''

Dans le mode de représentation adopté jusqu'à maintenant et appelé le mode de représen-tation de Schrödinger, noté $\mathcal{R}(S)$ dans la suite, chaque état $K$ d'évolution du système physique $S$ étudié est codé ou représenté dans $\cal{H}_{\cal{S}}$ par des vecteurs kets $\lambda\mid K(t)>$ et dans $\cal{H}_{\cal{S}}^*$ par des vecteurs bras imaginaires conjugués $\lambda^*<K(t)\mid$ et fonction du temps. Par contre toute grandeur physique $\hat{A}$ bien définie et indépendante du temps est codée ou représentée par un opérateur, une observable $A$ , dont la forme est elle-même bien déterminée, invariable et indépendante du temps. Il en résulte que les vecteurs propres $\mid a_i>$ ou $\mid a>$ d'une observable sont eux-mêmes indépendants du temps. Dans la décomposition spectrale du vecteur ket $\mid K(t)>$ sur la base constituée des états propres de l'observable $A$ :

$$\mid K(t)>=\underset{a}{\scalebox{1.7}{S}}~K(a,t)\,\mid a>$$

ce sont les coefficients $K(a,t)$ qui dépendent du temps et qui paramétrisent l'évolution temporelle du système.

Nous allons maintenant décrire le système dans $\cal{H}_{\cal{S}}$ à partir d'un repère mobile par rapport au repère précédent du mode de représentation $\mathcal{R}(S)$ . Ce repère mobile se déplacera conformément à la loi d'évolution du système $S$ étudié dont les états d'évolution paraîtront alors invariables. Au contraire, l'ensemble des états et donc des vecteurs kets qui précédem-ment étaient fixes, vont être animés d'un mouvement général d'évolution, inverse de celui appliqué au repère mobile, de telle sorte que, du fait de cette transformation :

$$\mid K>_S~~~\longrightarrow~~~\mid K(t)>_H~=~\mathcal{U}^{-1}(t-t_0)\,\mid K>_S$$

Ainsi tout vecteur ket $\mid K>_S$ fixe dans $\mathcal{R}(S)$ devient un vecteur ket $\mid K(t)>_H$ dépendant du temps dans ce nouveau mode de représentation, appelé le mode de représentation de Heisenberg, et noté $\mathcal{R}(H)$ .

Toutefois, si $\mid K(t)>_S$ désigne un état d'évolution du système :

$$\mid K(t)>_S~=~\mathcal{U}(t-t_0)\,\mid K(t_0)>_S$$

sa traduction dans $\mathcal{R}(H)$ devient bien, comme cela avait été annoncé, un vecteur fixe :

$$\mid K>_S~~~\longrightarrow~~~\mathcal{U}^{-1}(t-t_0)\, \mathcal{U}(t-t_0)\,\mid K(t_0)>_S=\mid K(t_0)>_S$$

Par ailleurs, la transformation définie par l'opérateur $\mathcal{U}^{-1}(t-t_0)$ est une transformation unitaire du type de celles étudiées précédemment^IV12. Les considérations qui ont alors éte développées précisent les lois de transformation simultanée des vecteurs, des opérateurs et des observables :

$$\begin{array}{ccc} \mid K>_S & ~~~~~\longrightarrow~~~~~ & \m... ...~~ & A_H = \mathcal{U}^{-1}\,A_S\,\,\mathcal{U} \\ \end{array}$$

Ainsi, tout opérateur $A_S$ indépendant du temps dans $\mathcal{R}(S)$ , du fait que l'expression classique $\hat{A}$ de la grandeur physique considérée ne dépend pas elle-même du temps, devient dans $\mathcal{R}(H)$ un opérateur $A_H(t)$ dont l'expression même dépend du temps.

Dès lors, les équations d'évolution ne vont plus porter sur les vecteurs représentatifs des états, qui sont constants, mais sur les observables telles que $A_H(t)$ .

De l'expression de $A_H(t)$ en fonction de $A_S$ on déduit :

$$\mathcal{U}(t,t_0)\,A_H(t)=A_S\,\,\mathcal{U}(t,t_0)$$

et en dérivant par rapport au temps :

$$\left[\,\frac{d}{dt}\,\mathcal{U}(t)\,\right]\,A_H(t)+ \mathcal{U}(t)\,\frac{dA_H}{dt}= A_S\,\left[\,\frac{d}{dt}\,\mathcal{U}(t)\,\right]$$

et, en utilisant l'équation d'évolution :

$$i\hbar\,\frac{d}{dt}\,\mathcal{U}(t)\,=\,H\,\mathcal{U}(t)$$

on obtient successivement :

$$H\,\mathcal{U}(t)\,A_H+i\hbar\,\mathcal{U}(t)\,\frac{dA_H}{dt}= A_S\,H\,\mathcal{U}(t)$$

et, en multipliant à gauche par $\mathcal{U}^{-1}(t)$ :

$$i\hbar\,\frac{dA_H}{dt}=\mathcal{U}^{-1}(t)\,\left(A_S\,H\,\mathcal{U}(t)- H\,\mathcal{U}(t)\,A_H\right)$$

mais :

$$\mathcal{U}^{-1}(t)\,A_S\,H\,\mathcal{U}(t)= \mathcal{U}^{-1}(t)\,A_S\,\mathcal{U}(t)\,\mathcal{U}^{-1}(t)\,H\,\mathcal{U}(t)= A_H\,H_H$$

de telle sorte que :

$$i\hbar\,\frac{dA_H}{dt}=A_H\,H_H-H_H\,A_H$$

d'où finalement les équations d'évolution auxquelles satisfont toutes les observables dans $\mathcal{R}(H)$ :

$$\begin{array}{\vert ccc\vert} \hline & & \\ ~ & i\hbar\,\fra... ...t}\,A_H=\left[A_H,H_H\right] & ~ \\ & & \\ \hline \end{array}$$

Ces équations s'appellent les équations de Heisenberg.

Question 4-9 : Si l'expression classique de la variable dynamique $\hat{A}$ dépend du temps, $\hat{A}=\hat{A}(t)$ , et donc est représentée dans $\mathcal{R}(S)$ par une observable $A_S(t)$ dépendant du temps, démontrez que dans $\mathcal{R}(H)$ cette observable satisfait l'équation de Heisenberg :

$$i\hbar\,\frac{d}{dt}\,A_H=\left[A_H,H_H\right]+i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\,A_H$$

en notant par convention :

$$\frac{\partial}{\partial t}\,A_H\,= \,\mathcal{U}^{-1}\,\frac{\partial A_S}{\partial t}\,\mathcal{U}$$

De la décomposition spectrale d'un vecteur ket $\mid K(t)>$ écrite dans $\mathcal{R}(S)$ et représentative d'un état d'évolution :

$$\mid K(t)>_S=\underset{a}{\scalebox{1.7}{S}}~K(a,t)\,\mid a>_S$$

on déduit immédiatement son expression dans $\mathcal{R}(H)$ en appliquant l'opérateur $\mathcal{U}^{-1}$ aux deux membres de cette équation :

$$\mid K>_H=\underset{a}{\scalebox{1.7}{S}}~K(a,t)\,\mid a,t>_H$$

On remarque que les coefficients $K(a,t)$ qui mesurent les probabilités sont bien invariants, comme ils doivent l'être en raison de leur signification physique :

$$\mathcal{P}rob(\hat{A}=a)=\mid K(a,t)\mid ^2= \mid {~}_S\!<a\mid K(t)>_S\mid ^2=\mid {~}_H\!<a\mid K(t)>_H\mid ^2$$