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Définition

Considérons deux espaces vectoriels que nous supposerons, pour simplifier, de dimensions finies : $ F_n$ à $ n$ dimensions et $ G_m$ à $ m$ dimensions. Supposons qu'à ces deux espaces, nous puissions associer un troisième espace vectoriel, de dimension $ nm$ , que nous désignerons par $ H_{nm}$ :

$\displaystyle F_n\otimes G_m=H_{nm}$      

tel qu'entre ses éléments et ceux des espaces $ F_n$ et $ G_m$ , on puisse établir une correspondance telle qu'à tout couple ordonné, formé d'un vecteur quelconque $ \mid f>\,\in\, F_n$ , et d'un vecteur quelconque $ \mid g>\,\in\, G_m$ , on puisse faire correspondre un vecteur bien déterminé noté :

$\displaystyle \mid f>\otimes\,\mid g>~\in~F_n\otimes G_m$      

cette correspondance satisfaisant aux conditions suivantes :


$ \imath-$ $ \mid f>\otimes\,(\mid g^1>+\mid g^2>)=\mid f>\otimes\,\mid g^1>+\mid f>\otimes\,\mid g^2>$

$ \imath\imath-$ $ (\lambda\mid f>)\otimes\,\mid g>=\mid f>\otimes\,(\lambda\mid g>)= \lambda(\mid f>\otimes\,\mid g>)$

$ \imath\imath\imath-$ Si $ \{\mid f^i>\}$ et $ \{\mid g^j>\}$ désignent deux bases, la première de $ F_n$ , la seconde de $ G_m$ , les produits tensoriels :

$\displaystyle \mid f^i>\otimes\,\mid g^j>=\mid h^{ij}>$      

forment une base de l'espace produit $ H_{nm}$ .


Lorsque ces axiomes sont satisfaits, on dit que l'espace $ H_{nm}$ est le produit tensoriel des espaces $ F_n$ et $ G_m$ , et un vecteur tel que :

$\displaystyle \mid h^{\prime}>=\mid f>\otimes\,\mid g>$      

est appelé le produit tensoriel de $ \mid f>$ et $ \mid g>$ . Un tel vecteur peut être décomposé sur la base $ \{\mid h^{ij}>\}$ :

$\displaystyle \mid h^{\prime}>=f_i\,\mid f^i>\otimes\,g_j\,\mid g^j>=h^{\prime}_{ij}\,\mid h^{ij}>$      

avec :

$\displaystyle h^{\prime}_{ij}=f_i\,g_j~~~~~~~~(i=1,2,\ldots,n~~et~~j=1,2,\ldots,m)$      

et admet $ nm$ composantes $ h^{\prime}_{ij}$ mais qui ne sont pas indépendantes, puisque ces $ nm$ composantes dépendent seulement de $ n+m$ composantes indépendantes : les $ n$ composantes de $ \mid f>$ et les $ m$ composantes de $ \mid g>$ . Au contraire, un vecteur quelconque de l'espace $ H_{nm}$ :

$\displaystyle \mid h>=h_{ij}\,\mid h^{ij}>$      

admet $ nm$ composantes $ h_{ij}$ indépendantes.

Les vecteurs produits tensoriels du type $ \mid h^{\prime}>$ sont donc des vecteurs très particuliers de l'espace $ H_{nm}$ .

Nous remarquons donc, et cette remarque aura, comme nous le verrons ci-après, des conséquences capitales, qu'un vecteur quelconque $ \mid h>$ de l'espace produit $ H_{nm}$ ne peut être décomposé en un produit tensoriel :

$\displaystyle \mid h>\not = \mid f>\otimes\,\mid g>$      


$\displaystyle \mathrm{avec}~~~~~~~~\mid h>\,\in\,H_{nm}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mid f>\,\in\,F_n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mid g>\,\in\,G_m$      

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Arnaud Balandras 2005-04-02