Opérateurs

Si $F$ et $G$ désignent deux opérateurs linéaires quelconques. et agissant respectivement dans $F_n$ et $G_m$ , on définit le produit tensoriel de ces deux opérateurs par son action sur les vecteurs de base :

$$\left(F\otimes G\right)\left(\mid f^i>\otimes\,\mid g^j>\right) = F\,\mid f^i>\otimes\,G\,\mid g^j>$$

Question 5-1 : Montrez que la matrice représentative de l'opérateur $F\otimes G$ est le produit direct des matrices représentatives de $F$ et $G$ :

$$\left(F\otimes G\right)_{ik,jl}=F_{ij}.G_{kl}$$

d'où il résulte plus généralement :

$$\left(F\otimes G\right)\left(\mid f>\otimes\,\mid g>\right)=F\,\mid f>\otimes\,G\,\mid g>$$

Le produit de deux tels opérateurs est défini par :

$$\left(F^1\otimes G^1\right).\left(F^2\otimes G^2\right)= \left(F^1.F^2\right)\otimes\left(G^1.G^2\right)$$

Question 5-2 : Justifiez la relation précédente, en montrant que le produit matriciel des deux produits directs du premier membre est bien égal au produit direct des deux produits matriciels du second membre.

Pour simplifier les notations, on écrit souvent simplement :

$$F\otimes \mathbf{1} = F~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~\mathbf{1}\otimes G= G$$

de telle sorte que, quels que soient $F$ et $G$ :

$$F.G = \left(F\otimes \mathbf{1}\right).\left(\mathbf{1}\otimes G\right)= F\otimes G$$

$$G.F = \left(\mathbf{1}\otimes G\right).\left(F\otimes \mathbf{1}\right)= F\otimes G$$

et donc :

$$F.G -G.F = \left[F,G\right] = 0$$

On remarquera toutefois que cette notation est incorrecte, puisqu'il est sans signification de faire le produit de deux opérateurs, l'un $F$ agissant dans $F_n$ et l'autre $G$ agissant dans $G_m$ .

Toutefois la notation simplifiée $F.G$ fait bien apparaitre que deux opérateurs agissant dans des espaces différents commutent toujours.

Ici encore, comme pour les vecteurs, tout opérateur agissant dans l'espace produit n'est pas nécessairement factorisable en un produit de deux opérateurs agissant dans les espaces facteurs. Par exemple :

$$\left(F^1\otimes G^1\right)+\left(F^2\otimes G^2\right)\not=F\otimes G$$