d) Le moment cinétique

Les composantes du moment cinétique orbital d'une particule sont des fonctions des observables de base $X,Y,Z,P_x,P_y,P_z$ et ces fonctions sont images des relations classiques de définition :

$$\vec{l}=\vec{r}\wedge\vec{p}~~~~~~~~~~~\vec{l}^2=l_x^2+l_y^2+l_z^2$$

d'où il résulte immédiatement :

$$L_x=YP_z-ZP_y~~~~~~~~~~~~~~~~L_y=ZP_x-XP_z~~~~~~~~~~~~~~~~L_z=XP_y-YP_x$$

$$\vec{L}^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2$$

On démontrera plus tard^I33 les relations de commutation auxquelles satisfont les composantes de $\vec{L}$ :

$$[L_x,L_y]=i\hbar L_z~~~~~[L_y,L_z]=i\hbar L_x~~~~~[L_z,L_x]=i\hbar L_y$$

$\hbar$ désignant la constante de Planck : $\hbar\,=\,1,054.10^{-34}$ J.s

Le développement de la physique quantique a révélé l'existence de plusieurs sortes de moments cinétiques intrinsèques des particules élémentaires, appelés spin et notés $\vec{S}$ . Tous ces moments cinétiques s'additionnent comme des vecteurs pour former un moment cinétique total.

$$\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$$

Chacune des observables images des grandeurs vectorielles $\vec{L},\vec{S}, \vec{J}\ldots$ etc constitue une illustration de ce que l'on appelle une observable moment angulaire.

Par définition une observable moment angulaire est une observable vectorielle caractérisée par les relations de commutation de ses trois observables de base :

$$[J_x,J_y]=i\hbar J_z~~~~~[J_y,J_z]=i\hbar J_x~~~~~[J_z,J_x]=i\hbar J_y$$

et notées symboliquement :

$$\vec{J}\wedge\vec{J}=i\hbar\vec{J}$$