Théorème :

Si $\mid \nu>$ est vecteur propre de $N$ et $\nu$ la valeur propre correspondante :

$\imath$ - Nécessairement $\nu \geq 0$

$\imath\imath$ - Si $~\nu = 0~$ alors $~\eta\mid \nu>=0$ . Si $\nu \neq 0$ alors $\eta\mid \nu>$ est vecteur propre de $N$ correspondant à la valeur propre $\nu-1$ et de norme $\nu\,<\nu\mid \nu>$

$\imath\imath\imath$ - $\eta^\dagger \mid \nu>$ n'est pas nul. Sa norme est $(\nu+1)\,<\nu\mid \nu>$ et c'est un vecteur propre de $N$ correspondant à la valeur propre $\nu+1$ .

En effet, par hypothèse :

$$N\,\mid \nu>=\nu\,\mid \nu> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{avec} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<\nu\mid \nu>\,\,> 0$$

et on en déduit les normes de $\eta\mid \nu>$ et de $\eta^\dagger \mid \nu>$ :

$$<\nu\mid \eta^\dagger \eta \mid \nu> = <\nu\mid N \mid \nu> = \nu\,<\nu\mid \nu>$$

$$<\nu\mid \eta \eta^\dagger \mid \nu> = <\nu\mid N+1 \mid \nu> = (\nu+1)\,<\nu\mid \nu>$$

Or la norme d'un vecteur de l'espace de Hilbert est positive ou nulle et la nullité de la norme est la condition nécessaire et suffisante de celle du vecteur. Pour que cet axiome soit ici satisfait, il faut et il suffit que l'on ait :

$$\nu \geq 0$$

et si $\nu = 0$ il en résulte :

$$\eta \mid \nu> = 0$$

Par ailleurs $\eta^\dagger \mid \nu> \neq 0$ puisque :

$$\nu +1 > 0$$

Enfin $\eta\mid \nu>$ et $\eta^\dagger \mid \nu>$ vérifient bien les équations aux valeurs propres annoncées puisque :

$$N\,\eta\,\mid\nu > = \eta\,(N-1)\,\mid\nu > ~=~ (\nu - 1)\,\eta\,\mid\nu >$$

$$N\,\eta^\dagger\,\mid\nu > = \eta^\dagger\,(N+1)\,\mid\nu > ~=~ (\nu + 1)\,\eta^\dagger\,\mid\nu >$$

A partir d'un vecteur propre $\mid \nu>$ quelconque, on peut construire une suite d'autres vecteurs propres :

$$\eta\,\mid\nu > ~~~~,~~~~ \eta^2\,\mid\nu > ~~~~,~~~~ \ldots ~~~~~,~~~~ \eta^p\,\mid\nu >$$

correspondant respectivement aux valeurs propres :

$$\nu - 1 ~~~~~~~~ \nu - 2 ~~~~~~~~ \ldots ~~~~~~~~ \nu - p$$

Puisque la suite des valeurs propres est bornée inférieurement par 0 , il doit donc nécessaire-ment exister un vecteur noté $\mid 0 >$ et tel que :

$$\eta\,\mid 0 > =$$ 0

A partir de ce vecteur $\mid 0 >$ on peut alors engendrer tous les autres vecteurs propres par action de l'opérateur $\eta^\dagger$ . On obtiendra ainsi la suite :

$$\mid 0 > ~~~~,~~~~ \eta^\dagger\,\mid 0 > ~~~~,~~~~ (\eta^\dagger)^2\,\mid 0 > ~~~~,~~~~ \ldots ~~~~,~~~~ (\eta^\dagger)^p\,\mid 0 >$$

correspondant respectivement aux valeurs propres :

$$0 ~~~~,~~~~ 1 ~~~~,~~~~ 2 ~~~~,~~~~ \ldots ~~~~,~~~~ p$$

L'observable $N$ constitue alors, à elle seule, un ensemble complet d'observables qui commutent car aucune de ses valeurs propres n'est dégénérée.

On peut maintenant construire la suite des vecteurs propres orthonormés de $H$ notés :

$$\mid 0 > ~~~~,~~~~ \mid 1 > ~~~~,~~~~ \mid 2 > ~~~~,~~~~ \ldots ~~~~,~~~~\mid n >$$

qui se déduisent les uns des autres par les relations de récurrence :

$$\eta\,\mid 0 > =$$ 0

$$\eta^\dagger \mid n> = \sqrt{n+1}\,\mid n+1 >~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~\eta\,\mid n > = \sqrt{n}\,\mid n-1 >$$

Le vecteur propre de rang $n$ peut également s'écrire :

$$\mid n > = \frac{1}{\sqrt{n!}}\,(\eta^\dagger)^n\,\mid 0 >$$

avec :

$$H\,\mid n > = E_n\,\mid n >~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\,\hbar\omega$$