c) Valeurs propres et vecteurs propres

Les observables $\vec{L}^{\,2}$ et $L_z$ qui commutent, admettent un système complet de vecteurs propres communs. Les valeurs propres correspondantes ont déjà été déterminées dans une étude précédente^III17 :

$$\vec{L}^{\,2}\,\mid l,m> = l(l+1)\,\hbar^2\,\mid l,m>~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~ L_z\,\mid l,m>~=~m\hbar\,\mid l,m>$$

Tenu compte de l'observation précédente, les vecteurs propres $\mid l,m>$ sont représentés mathématiquement dans la base sphérique par des fonctions de $\theta$ et $\varphi$ seulement :

$$<\Omega\mid l,m> = <\theta,\varphi\mid l,m> ~=~ Y^m_l(\theta,\varphi)~=~Y^m_l(\Omega)$$

Ces fonctions $Y^m_l$ représentatives dans l'espace $\mathcal{H}_\Omega$ des vecteurs propres $\mid l,m>$ s'appellent les harmoniques sphériques. Ce sont les éléments de la matrice de changement de base entre la base initiale $\{\mid\Omega>=\mid\theta,\varphi>\}$ et la base $\{\mid l,m>\}$ .