d) Relation de fermeture et d'orthonormalisation

Sur chacune des deux bases précédentes la relation de fermeture s'écrit :

$$\mathbf{1} = \sum_{l,m}\,\mid l,m><l,m\mid$$

$$\mathbf{1} = \int\,\mid\theta\varphi>\,\sin\theta\,d\theta\,\varphi\,<\theta,\varphi\mid ~=~ \int\,\mid\Omega>\,d\Omega\,<\Omega\mid$$

Les relations d'orthonormalisation en résultent (avec $d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$ ) :

$$\delta_{l,l^\prime}\,\delta_{m,m^\prime} = <l^\prime,m^\prime\mid l,m>~=~<l^\prime,m^\prime\mid\mathbf{1}\mid l,m>~=~\int\,<l^\prime,m^\prime\mid\Omega>\,d\Omega\,<\Omega\mid l,m>$$

soit :

$$\int\,Y^{m^\prime}_{l^\prime}(\Omega)\,Y^{m}_{l}(\Omega)\,d\Omega = \delta_{l,l^\prime}\,\delta_{m,m^\prime}$$

ou encore, en utilisant l'autre base :

$$\delta(\Omega^\prime-\Omega) = \frac{\delta(\theta^\prime-\theta)\,\delta(\varphi^\prime-\varphi... ...theta}~=~ <\Omega^\prime\mid\Omega> ~=~ <\Omega^\prime\mid\mathbf{1}\mid\Omega>$$

$$<\Omega^\prime\mid\mathbf{1}\mid\Omega> = \sum_{l,m}\,<\Omega^\prime\mid l,m><l,m\mid\Omega>$$

d'où résulte finalement :

$$\sum_{l,m}\,Y^{m}_{l}(\Omega^\prime)\,Y^{m}_{l}(\Omega)^* = \delta(\Omega^\prime-\Omega)$$