b) Mécanique classique

A propos de la distribution classique de Boltzmann^IV3 nous avons déjà vu comment l'état d'un système classique peut être représenté par un point $\vec{P}$ dans l'espace des phases. Si cet état est mal connu, on peut seulement préciser avec quelle probabilité ce point figuratif se trouve dans un élément de volume $dV$ centré sur $\vec{P_0}$ dans cet espace des phases :

$$\mathcal{P}rob(\vec{P}\,\in\,dV)=\hat{\rho}(\vec{P_0},t)\,dV~~~~~~~~~~~~~ dV=dq_1\ldots dp_n$$

avec :

$$\int\,\hat{\rho}\,dV=1$$

$\hat{\rho}(\vec{P},t)$ définit une fonction densité de probabilité^IV4 dans l'espace des phases :

$$\hat{\rho}(\vec{P},t)=\rho(q_i,p_j,t)$$

analogue à la densité locale d'un fluide qui remplirait cet espace des phases, la masse totale, ou la probabilité totale dans cet espace, étant constante (et égale à 1 par exemple). Puisqu'il y a conservation de la probabilité totale :

$${{\partial\hat{\rho}}\over{\partial t}}+\mathrm{div}\vec{j}=0$$

$\vec{j}=\hat{\rho}\,\vec{v}$ désignant le vecteur flux dans l'espace des phases.

Or une conséquence importante des équations de Hamilton, à savoir :

$${{dq_i}\over{dt}}={{\partial\mathcal{H}}\over{\partial p_i}}~~~~~~~~~~~~~~~~~ {{dp_i}\over{dt}}=~-{{\partial\mathcal{H}}\over{\partial q_i}}$$

$\mathcal{H}(q_i,p_j)$ désignant la fonction énergie de Hamilton, est que le vecteur vitesse du point $\vec{P}$ dans l'espace des phases est à divergence nulle. En effet :

$$\mathrm{div}\,\vec{v}= \sum\limits_{i=1}^n\,\left({{\partial}\ove... ...artial p_i}}- {{\partial^2\mathcal{H}}\over{\partial p_i\partial q_i}}\right)=0$$

On en déduit immédiatement :

$$\mathrm{div}\,\vec{j}=\mathrm{div}\,\hat{\rho}\vec{v}= \hat{\rho}... ...{\mathrm{grad}}\,\hat{\rho}= \vec{v}.\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\hat{\rho}$$

et :

$$\vec{v}.\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\hat{\rho}=\sum\limits_{i... ...artial q_i}}+ {{dp_i}\over{dt}}{{\partial\hat{\rho}}\over{\partial p_i}}\right)$$

soit :

$$\vec{v}.\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\hat{\rho}=\sum\limits_{i... ...ial\mathcal{H}}\over{\partial q_i}} \right)=\left(\hat{\rho},\mathcal{H}\right)$$

$\left(\hat{\rho},\mathcal{H}\right)$ désignant le crochet de Poisson, de telle sorte que finalement on obtient :

$$\begin{array}{\vert ccc\vert} \hline & & ~ \\ ~ & {{d\hat{\r... ... -(\hat{\rho},\mathcal{H}) & ~ \\ & & ~ \\ \hline \end{array}$$

On notera l'analogie avec le résultat quantique que l'on aurait pu déduire directement, en utilisant la méthode de quantification de Dirac^IV5.

Question 4-2 : Montrez que si $\Omega$ désigne une variable dynamique classique $\Omega=\Omega(q_i,p_j)$ , elle satisfait l'équation d'évolution dans l'espace des phases :

$${{d\Omega}\over{dt}} = (\Omega,\mathcal{H})$$