Normalisations

Pour comparer l'expression théorique qui vient d'être obtenue avec celle qui définit la section efficace expérimentale, il faut établir une relation entre la normalisation des fonctions d'onde $\Phi_A$ et $\Phi_B$ d'une part et les densités expérimentales $\rho_A$ et $\rho_B$ d'autre part.

A cet effet, on rappelle :

$$\mid\widetilde{P},\lambda> = \int~d^4P\,\hat{\Phi}(P)\,\mid P,\lambda> ~=~ \int~\frac{d^3P}{2E}\,\varphi(P)\,\mid P,\lambda>$$

et on peut alors égaler deux expressions du nombre $N$ de particules :

$$<\widetilde{P},\lambda\mid\widetilde{P},\lambda> = (2\pi)^3\,\int~\frac{d^3P}{2E}\,~\begin{array}{\vert c\vert}\varphi(P)\\ \end{array}^{\,2} ~=~ N ~=~ \int\,d^3x\,\rho(x)$$

On rappelle également la définition de $\Phi(x)$ :

$$\Phi(x) = \int\,d^4P\,e^{i\,P\,x}\,\hat{\Phi}(P) ~=~ \int~\frac{d^3P}{2E}\,e^{i\,P\,x}\,\varphi(P)$$

et il en résulte :

$$\int\,d^3x~\begin{array}{\vert c\vert}\Phi(x)\\ \end{array}^{\,2} = (2\pi)^3\,\int~\frac{d^3P}{(2E)^2}\,~\begin{array}{\vert c\vert}\varphi(P)\\ \end{array}^{\,2}~\sim~\frac{1}{2\overline{E}}\,N$$

en admettant que le facteur $(2E)^{-1}$ varie peu dans l'intervalle d'intégration où $\varphi(P)\,\not=\,0$ et en l'assimilant à sa valeur moyenne. On obtient donc finalement :

$$\begin{array}{\vert c\vert}\hline { }\\ ~~\begin{array}{\vert... ...\frac{1}{2\overline{E}}$}~\rho(x) ~~\\ { }\\ \hline \end{array}$$