L'espace des états $\cal{H}_{\cal{S}}$

L'espace $\cal{H}_{\cal{S}}$ invoqué par le postulat I doit être un espace de Hilbert complet et séparable. Ces qualificatifs signifient que cet espace est doté des propriétés mathématiques qui peuvent être résumées simplement ci-après, d'une manière plus adaptée à leur utilisation future.

$\cal{H}$ est un espace vectoriel défini sur le corps $\cal{C}$ des nombres complexes. Tout élément de $\cal{H}$ est appelé vecteur ket ou simplement $ket$ et noté $\mid g>$ ou $\mid f>$ ou $\mid u>$ ou $\mid \Psi>$ ...

Le nombre de dimensions de $\cal{H}$ peut être infini et il existe alors des ensembles dénombrables de kets $\mid u_i>\in\cal{H}$ , appelés $bases$ , tels que :

$$\forall~{\mid g>}\in{\cal{H}}~~~~~~~~~~~~\exists~{\mid u_i>} \in{\cal{H}}~~~~~~~~(i=1,2,\ldots,n,\ldots)$$

$${\mid g>}={\sum\limits_{i=1}^{\infty}}~{g_i\mid u_i>}~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

Cette propriété mathématique de décomposition d'un vecteur sur une base jouera dans le formalisme quantique un rôle capital car c'est elle qui permet d'exprimer mathématiquement le principe de superposition des états.

L'ensemble $\cal{H}^*$ des formes linéaires notées $<b\mid$ , $<v\mid$ , $<f\mid,\ldots$ etc appliquées aux éléments de $\cal{H}$ et à valeurs dans $\cal{C}$ tel que :

$$<f\mid(\mid g>)=<f\mid g>~\in~{\cal{C}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

$$<f\mid(\lambda_1\mid g_1>+\lambda_2\mid g_2>)=\lambda_1<f\mid g_1>+\lambda_2<f\mid g_2>$$

peut être doté des lois de composition interne :

$$(<f_1\mid+<f_2\mid)\mid g>=<f_1\mid g>+<f_2\mid g>$$

$$(\lambda<f\mid)\mid g>=\lambda<f\mid g>~~~~~~~~~~~~~$$

qui font de $\cal{H}^*$ un autre espace vectoriel qui a le même nombre de dimensions que $\cal{H}$ . Le nouvel espace vectoriel $\cal{H}^*$ s'appelle l'espace dual de $\cal{H}$ et ses éléments notés $<f_1\mid$ , $<f_2\mid\ldots$ etc sont appelés vecteurs bras ou ``$bras$ ''.

Il existe une correspondance $biunivoque$ entre $\cal{H}$ et $\cal{H}^*$ de telle sorte qu'à tout bra $<f\mid$ de $\cal{H}^*$ correspond un ket noté $\mid f>$ de $\cal{H}$ et vice-versa :

$${\cal{H}^*}~\ni~ <f\mid ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mid f>~\in~{\cal{H}}$$

Cette correspondance est anti-linéaire ce qui signifie :

$$\sum\limits_{i}~f_i~ <f_i\mid ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \sum\limits_{i}~f_i^*~ \mid f_i>$$

Tout état physique peut donc être codé indifféremment par des kets $\lambda\mid\Psi>$ ou les bras images $\lambda^*<\Psi\mid$

$\cal{H}$ est alors doté d'un produit scalaire qui, à deux vecteurs ordonnés $\mid f>$ et $\mid g>$ de $\cal{H}$ fait correspondre un élément noté $<f\mid g>$ de $\cal{C}$ :

$$\mid f>\times\mid g>~\in~{\cal{H}}\times{\cal{H}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ <f\mid g>~\in~{\cal{C}}$$

et dont la notation précise qu'il s'agit de la valeur prise par le bra $<f\mid$ sur le ket $\mid g>$ et donc d'une application bi-linéaire de ${\cal{H}^*}\times{\cal{H}}$ dans $\cal{C}$ . En raison de la correspondance anti-linéaire entre $\cal{H}$ et $\cal{H}^*$ ce produit scalaire est linéaire par rapport au ket $\mid g>$ et linéaire par rapport au bra $<f\mid$ et donc antilinéaire par rapport au ket $\mid f>$ .

$$\lambda\mid f>\times~\mu\mid g>~\in~{\cal{H}}\times{\cal{H}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\lambda^* .\mu<f\mid g>\in{\cal{C}}$$

$$\lambda<f\mid\times~\mu\mid g>~\in~{\cal{H^*}}\times{\cal{H}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\lambda .\mu<f\mid g>\in{\cal{C}}$$

Le produit scalaire est défini positif dans $\cal{H}$ . De ce qui précède il résulte que $<f\mid g>^*$ et $<g\mid f>$ sont fonctions linéaires de $<f\mid$ et antilinéaires de $\mid g>$ . Il peut donc être postulé que ces deux quantités sont égales :

$$<f\mid g>^*=<g\mid f>$$

d'où quel que soit $\mid f>~\in~\cal{H}$

$$\parallel f\parallel=<f\mid f>^{{1}\over{2}}~\geq~0$$

Enfin l'espace $\cal{H}$ est choisi tel que la norme $\parallel f\parallel$ de tout vecteur $\mid f>$ est strictement positive, c'est-à-dire telle que :

$$\parallel f\parallel=0~~\longleftrightarrow~~\mid f>=\mid\phi>=0$$

$\mid\phi>$ désignant l'élément neutre de l'espace $\cal{H}$ .

Il a déjà été dit combien est capitale la propriété de décomposition d'un vecteur ket sur une base dénombrable :

$$\mid f>= \sum\limits_{i=1}^{\infty}~f_i~ \mid u_i>~~~~(i=1,2,\ldots\infty)$$

car c'est elle qui permet d'exprimer le principe de superposition. Néanmoins cette propriété doit être elle-même généralisée pour que l'espace $\cal{H}$ des états puisse constituer un cadre suffisant au formalisme quantique.

En effet, considérons par exemple la représentation électromagnétique qu'il y a lieu de donner à un photon en mouvement dans l'espace. Puisque ce photon décrit un paquet d'énergie approximativement localisée, la physique classique^I12 représente cet état par un potentiel vecteur $\vec{A}(\vec{r},t)$ ou les champs électriques $\vec{E}(\vec{r},t)$ et magnétiques $\vec{B}(\vec{r},t)$ qui ne prennent de valeurs sensibles que dans cette région très réduite de l'espace physique où se trouve approximativement localisé ce grain d'énergie, c'est-à-dire le photon.

Mathématiquement cela implique que ces fonctions vectorielles ou plutôt chacune de leurs composantes, par exemple $E_x$ , soit de la forme :

$$E_x(\vec{r},t)=\Re\left(~~\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\vec{k}).e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}~d^3 k~\right)$$

où $\Re$ désigne la partie réelle de la parenthèse qui suit.

Chacune des exponentielles sous le signe d'intégration décrit une onde plane monochromatique $(\vec{k},\omega)$ à laquelle correspond^I13 un état d'impulsion et donc d'énergie bien définie du photon :

$$\vec{p}=\hbar\vec{k}~~~~~~E=\hbar\omega$$

La fonction $E_x$ décrit donc un paquet d'ondes planes. Si le champ (et donc le photon) est polarisé dans une direction fixe $\vec{\varepsilon}$ :

$$E_x(\vec{r},t)=\Re\left(~~\varepsilon_x~\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\vec{k}).e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}~d^3 k~\right)$$

de telle sorte qu'avec la correspondance :

$$~~~~E_x(\vec{r},t)~~\longrightarrow~~\mid \varphi>$$

$${ }$$

$$\vec{\varepsilon}~e^{i\vec{k}\vec{r}}~~\longrightarrow~~\mid \vec{\varepsilon},\vec{k}>$$

le paquet d'ondes classiques est transposé en une superposition quantique :

$$\mid \varphi>=\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\vec{k})~\mid \vec{\varepsilon},\vec{k}>~d^3 k$$

ou encore plus généralement, si l'état de polarisation $\vec{\varepsilon}$ est lui-même décomposé en la somme vectorielle de deux états de base de polarisation $\vec{\varepsilon}_1$ et $\vec{\varepsilon}_2$ :

$$\mid \varphi>=\sum\limits_{i=1}^{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_i(\vec{k})~\mid \vec{\varepsilon_i},\vec{k}>~d^3 k$$

On remarque que le nombre de vecteurs de base indépendants $\mid \vec{\varepsilon_i},\vec{k}>$ est égal à deux fois $(i=1,2)$ le nombre de valeurs distinctes du triplet $k_x,k_y,k_z$ . Or ce nombre est infini avec la puissance du continu. Plus généralement il apparaitra ultérieurement qu'il en est de même pour toute particule, dès lors qu'elle n'est pas enfermée dans une région limitée de l'espace physique.

D'une façon tout à fait générale, quand toutes les propriétés d'un système physique sont prises en compte, et même quand il s'agit du système physique le plus simple imaginable (par exemple une particule comme on vient de le voir) la dimension de l'espace des états n'est plus dénombrable comme elle doit l'être pour un espace de Hilbert. Cet espace des états a une infinité continue de dimensions en même temps que de vecteurs de base indépendants. Un tel espace est donc une extension d'espace de Hilbert. Ses vecteurs de base sont alors repérés par un ou plusieurs indices continus, $x$ , $y$ ,... réels, comme l'étaient les états d'onde plane $\mid \vec{\varepsilon_i},k_x,k_y,k_z>$ considérés précédemment, c'est-à-dire dont les valeurs varient dans des intervalles (éventuellement $[-\infty,+\infty]$ ) de telle sorte que :

$$\mid f>=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)~\mid x>~dx$$

ce qui constitue une généralisation de la décomposition habituelle d'un vecteur sur une base discrète :

$$\mid f>=\sum\limits_{j}~f(j)~\mid j>~~~~(j=1,2,\ldots,n,\ldots)$$

et de même que l'on obtient dans le cas d'une telle base orthonormée $<i\mid j>=\delta_{ij}$ :

$$f_i=<i\mid f>=\sum\limits_{j}~f(j)~<i\mid j>=\sum\limits_{j}~f(j)~\delta_{ij}$$

il faut pouvoir écrire dans le cas d'une base continue :

$$f(x)=<x\mid f>=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x^\prime)~<x\mid x^\prime>~dx^\prime =\int_{-\infty}^{+\infty}f(x^\prime)~\delta(x-x^\prime)~dx^\prime$$

avec la notation conventionnelle :

$$<x\mid x^\prime>=\delta(x-x^\prime)$$

où le second membre, appelé delta de Dirac, remplace le delta de Kronecker qui apparaît au second membre de la relation d'orthonormalisation d'une base discrète :

$$<i\mid j>=\delta_{ij}$$

Le delta de Dirac $\delta(x-x^\prime)$ dépend des deux variables continues $x$ et $x^\prime$ . Toutefois, on peut montrer que ce n'est pas une fonction de ces deux variables. Il n'existe en effet aucune fonction $\delta(x-x^\prime)$ qui permette de satisfaire la relation postulée ci-dessus :

$$f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x^\prime)~\delta(x-x^\prime)~dx^\prime$$

Il existe seulement des suites de fonctions $\delta_n$ telles que :

$$f(x)=\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x^\prime)~\delta_n(x-x^\prime)~dx^\prime$$ soit par exemple : $$\delta_n(x-x^\prime)=n~~\mathrm{si}~~\mid x-x^\prime\mid \leq{{1}\over{2n}}$$ $$\delta_n(x-x^\prime)=0~~\mathrm{si}~~\mid x-x^\prime\mid >{{1}\over{2n}}$$ $$\mathrm{avec}~~\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_n(x-x^\prime)=1~~~~$$

Le delta de Dirac représente un nouvel être mathématique dont Dirac a postulé l'existence pour pouvoir assurer la cohérence du formalisme. Les mathématiciens ont ensuite défini et étudié les propriétés de ces nouveaux êtres qui sont aujourd'hui appelés des distributions.

Pour la suite, il suffit de savoir que le delta de Dirac figure toujours sous un signe d'intégration et qu'il a la signification opérationnelle :

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x^\prime)\delta(x-x^\prime)~dx^\prime=f(x)$$

quelle que soit $f(x)$ et notamment :

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\mid x^\prime>\delta(x-x^\prime)~dx^\prime=\mid x>$$

Si toutefois, on considère la suite de fonctions $\delta_n(x-x^\prime)$ on est tenté d'écrire en comparant les deux expressions précédentes de $f(x)$ et en admettant à tort que la limite de l'intégrale est égale à l'intégrale de la limite :

$$\lim_{n\to\infty}\delta_n(x-x^\prime)=\bar{\delta}(x-x^\prime)$$

$\bar{\delta}_n(x-x^\prime)$ désignant alors une fonction de $x$ nulle partout sauf au point $x=x^\prime$ où sa valeur est infinie, mais pour une telle fonction, nulle presque partout :

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x^\prime)\bar{\delta}(x-x^\prime)~dx^\prime=0\not=f(x)$$

Ainsi le delta de Dirac n'est pas une fonction limite des fonctions $\delta_n(x-x^\prime)$ quand $n\to\infty$ . Ce delta de Dirac n'a de sens que quand il figure sous un signe d'intégration, et ce sens est opérationnel : il réalise immédiatement l'intégration. Toutefois, compte tenu de la relation entre ce delta de Dirac et la suite des fonctions $\delta_n(x-x^\prime)$ on peut écrire formellement :

$$<x\mid x^\prime>=\delta(x-x^\prime)=\delta(x^\prime-x)=<x^\prime\mid x>$$

$$<x\mid x^\prime>=\delta(x-x^\prime)=0~~\mathrm{si}~~x^\prime\not=x$$

$$<x\mid x>=+\infty$$

Il en résulte donc que les vecteurs kets dépendants d'une base continue ne sont pas normalisables et l'espace vectoriel qu'ils engendrent est donc une extension d'espace de Hilbert et qui resterait à définir mathématiquement.

Nous verrons plus tard que seuls les vecteurs normés ou normalisables peuvent représenter des états physiques. Les vecteurs non normalisables constituent principalement des objets mathématiques utiles mais peuvent correspondre à des états physiques limites et donc inaccessibles.

En effet, il apparaîtra dans la suite qu'un vecteur ket tel que $\mid x>$ représente un état physique dans lequel la particule considérée est localisée parfaitement en un point mathématique de coordonnées $x$ ( $x$ désignant globalement les trois coordonnées spatiales $x,y,z$ ). Nous savons par application des relations d'Heisenberg^I14que :

$$\Delta x.\Delta p_x~\sim~h~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta y.\Delta p_y~\sim~h~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \Delta z.\Delta p_z~\sim~h$$

de telle sorte que dans un tel état, s'il pouvait être réalisé, l'impulsion de cette particule serait totalement indéterminée :

$$\mathrm{Si}~~\Delta x=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta p_x=+\infty$$

Cependant, à partir de ces vecteurs kets $\mid x>$ représentatifs d'états limites inaccessibles, on peut construire par superposition linéaire des kets $\mid\overset{\sim}{x}>$ représentatifs d'états physiques dans lesquels nous verrons que la particule est approximativement localisée soit par exemple dans un intervalle de longueur $\delta x$ aussi petit que l'on veut et centré sur un point de coordonnées $x_i$ :

$$\mid \overset{\sim}{x}_i>={{1}\over{\sqrt{\delta x_i}}}\int_{-\infty}^{+\infty}~f_i(x)\mid x>~dx$$

$f_i(x)$ désignant une fonction nulle partout sauf dans l'intervalle $\delta x_i$ où sa valeur bornée peut être quelconque, de telle sorte que si les intervalles $\delta x_i$ sont égaux et couvrent l'axe réel, en se juxtaposant $\delta x_i\cap\delta x_j=\delta x\,\cdot\,\delta_{ij}$ :

$$<\overset{\sim}{x}_i\mid\overset{\sim}{x}_j>={{1}\over{\delta x}}... ...fty}^{+\infty}~f_j(x^\prime)<x\mid x^\prime>~dx^\prime=0~~ \mathrm{si}~~i\not=j$$

Notamment si on choisit une fonction $f_i(x)$ telle que :

$$f_i(x)=1~~~\mathrm{pour}~~~x\in\delta x_i~~~\mathrm{et}~~~f_i(x)=0 ~~~\mathrm{pour}~~~x\not\in\delta x_i$$

on obtient finalement :

$$<\overset{\sim}{x}_i\mid\overset{\sim}{x}_j>=\delta_{ij}$$

et on pourrait écrire alors :

$$\mid f>=\sum\limits_{i}~f_i\mid\overset{\sim}{x}_i>$$

Néanmoins il est plus commode d'utiliser les vecteurs kets $\mid x>$ non normalisables comme si ils constituaient une base mathématique et d'utiliser les deltas de Dirac sous des signes d'intégration en tant qu'outils opérationnels. On notera, par exemple, la correspondance entre l'expression classique du paquet d'onde considéré précédemment et sa transposition quantique. L'état du photon est codé par un ket $\mid \varphi>$ normalisé ( $<\varphi\mid \varphi>=1$ ) grâce aux fonctions $\varphi_i(\vec{k})$ mais les états d'ondes planes qui ne sont pas réalisables physiquement sont codés par des kets $\mid \vec{\varepsilon},\vec{k}>$ non normalisables.

Question 1-1 : Soit une suite de n vecteurs $\mid e_1>,\ldots,\mid e_k>,\ldots,\mid e_n>$ supposés normalisables et linéairement indépendants. En déduire et construire une base orthonormée de vecteurs $\mid i>$ tels que $<i\mid j>=\delta_{ij}$

Question 1-2 : Démontrez que si $x^\prime\not\in[a,b]$ alors :

$$\int_{a}^{b}\delta(x-x^\prime)~dx=0$$