Les interférences de Young
(Transformée de Fourier des fentes)

Supposons maintenant que les particules émises par la source $S$ traversent une feuille $F$ percée de deux fentes horizontales identiques à celles du problème précédent. Ici encore on se limitera à l'étude des phénomènes dans le plan de figure $zOx$ . Comme précédemment, la traversée de la feuille $F$ provoque la réduction du paquet d'ondes sur la composante relative au sous-espace en $x$ de telle sorte qu'après cette réduction, cette composante du vecteur ket représentatif de l'état de la particule s'écrit approximativement :

$$\mid \Psi>_x = \frac{1}{\sqrt{4\varepsilon}}\, \left( \int_{-\eta... ...epsilon}^{ \eta+\varepsilon}\,\mid x^{\prime\prime}>\,dx^{\prime\prime} \right)$$

La distribution correspondante en impulsion s'en déduit :

$$\varphi(p_x) = <p\mid \Psi>_x = \varphi(p)$$

$$\varphi(p) = \frac{1}{\sqrt{4\varepsilon\,h}}\, \left( \int_{-\et... ...arepsilon}\,e^{-\frac{i}{\hbar}\,p.x^{\prime\prime}}\,dx^{\prime\prime} \right)$$

soit explicitement :

$$\varphi(p) = \frac{1}{\pi}\,~\sqrt{\frac{h}{\varepsilon}}~\,\frac{1}{p}~\,\sin\frac{p\,\varepsilon}{\hbar}~~ \cos\frac{p\,\eta}{\hbar}$$

Or, à une impulsion $p_x=p$ correspond une direction $\theta$ de diffraction et un point d'ordonnée $x$ sur l'écran $E$ avec :

$$\sin\theta = \frac{p_x}{p} = \frac{\lambda\,p}{h}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x = L\,\tan\theta$$

d'où :

$$p \sim \frac{h}{\lambda\,L}\,x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{si}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\theta\ll 1\,\mathrm{rad}$$

On peut alors écrire approximativement :

$$\frac{p\,\varepsilon}{\hbar} = \frac{2\pi\,\varepsilon}{\lambda\,... ...~~~~~~~~~~~\frac{p\,\eta}{\hbar} = \frac{2\pi\,\eta}{\lambda\,L}\,x = \Omega\,x$$

La distribution en intensité de la tache d'interférence s'écrit alors :

$$I(x) = \mathcal{P}rob~(p_x) = \mathrm{C}^\mathrm{te}\,\left(\frac{\sin\omega\,x}{\omega\,x}\,\cos{\Omega\,x}\right)^2$$

La tache de diffraction présente des maxima séparés par des intervalles :

$$\Delta x = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\lambda\,L}{\varepsilon} \sim 1\,\mathrm{mm}$$

Cette tache est hachée par des franges d'interférences séparées par des intervalles :

$$\delta x = \frac{2\pi}{\Omega} = \frac{L\,\lambda}{\eta} = 0,25\,\mathrm{mm}$$

Les observations expérimentales sont bien conformes à ces prévisions théoriques (avec $n=4\varepsilon$ ), comme l'illustre la figure ci-dessous :