b) Etude quantique

Le formalisme développé dans ce chapitre est non relativiste. Pour pouvoir l'utiliser, nous supposerons donc que les particules émises par la source sont non relativistes.

Selon l'interprétation quantique, chaque particule incidente sur le diaphragme est dans un état proche d'un état d'impulsion :

$$\mid p^\prime_z,p^\prime_x> = \mid p,0>$$

La traversée du diaphragme constitue une mesure de la coordonnée $x$ qui permet d'exclure toutes les valeurs de $x$ extérieures à la largeur de la fente. Cette mesure, qui ne porte que sur la dimension $x$ change la composante $\mid p^\prime_x=0>$ de l'état initial en provaoquant la réduction du paquet d'ondes en lequel cet état se décompose :

$$\begin{array}{ccc} \mid p^\prime_x> & = & \scalebox{1.9}{$\in... ...ty}\,e^{\frac{i}{\hbar}\,p^\prime_x.x}\,\mid x>\,dx \end{array}$$

par application du postulat IV, de telle sorte que :

$$\mid p^\prime_x>~~~~~\longrightarrow~~~~~ \mid \Psi>~=~C\,\int_{-... ...psilon}^{+\varepsilon}\,\mid x>\,dx~~~~~~~~~~~~ C=\frac{1}{\sqrt{2\varepsilon}}$$

la constante $C$ étant choisie telle que $<\Psi\mid \Psi>=1$ . La distribution en impulsion de cet état s'obtient par application du postulat III de Born :

$$\mathcal{P}rob~(p^\prime_x=p^\prime) ~=~ \begin{array}{\vert c\ve... ...c{\sin^2 u}{u^2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(u=\frac{\varepsilon}{\hbar}\,p^\prime)$$

Dans le phénomène de diffraction la longueur d'onde est conservée, et les photons conservent leur impulsion $p=\frac{h}{\lambda}$ de telle sorte que :

$$p^\prime_x = p\,\sin\theta = p^\prime~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mat... ...,\sin\theta = 2\pi\,\frac{\varepsilon\,\sin\theta}{\lambda} = \omega\varepsilon$$

et on retrouve ainsi la distribution classique de l'intensité :

$$\begin{array}{ccl} I(\theta) & = & \mathrm{C}^\mathrm{te}~\,\... ...ega\,\varepsilon}{\omega\varepsilon}$}\right)^2 \\ \end{array}$$