Valeurs moyennes et écarts-types

Considérons un système physique, ou un ensemble $\Sigma$ de systèmes tous identiques, et supposés tous placés dans un même état, représenté par le vecteur $\mid \Psi>$ . La mesure d'une observable $A$ fournira pour résultats les diverses valeurs propres de $A$ avec pour valeur moyenne :

$$\left<A\right>_\Psi~=~<\Psi\mid A\mid \Psi>$$

la dispersion de ces résultats autour de la valeur moyenne est caractérisée par son écart-type :

$$\Delta A^2_\Psi=<(A-\left<A\right>_\Psi)^2>=\left<A^2\right>_\Psi-\left<A\right>_\Psi^2$$

Supposons maintenant que sur un sous-ensemble $\Sigma_1$ de $\Sigma$ , on mesure l'observable $A$ et sur un autre sous-ensemble $\Sigma_2$ de $\Sigma$ on mesure une autre observable $B$ . Ces deux sous-ensembles sont équivalents, puisque par hypothèse tous les systèmes physiques considérés sont identiques et tous placés dans le même état $\Psi$ . Nous savons déjà qu'en général, ni $\Delta A$ ni $\Delta B$ ne sont nuls. Nous allons calculer ci-après une borne inférieure sur la valeur de leur produit.