Démonstration des inégalités

Considérons les observables centrées :

$$\bar{A}=A-\left<A\right>~~~~~\mathrm{et}~~~~\bar{B}=B-\left<B\right>$$

satisfaisant aux relations :

$$\left(\Delta A_\Psi\right)^2=\left<\bar{A}^2\right>_\Psi~~~~~~~ \left(\Delta B_\Psi\right)^2=\left<\bar{B}^2\right>_\Psi$$

$$\left[\bar{A},\bar{B}\right]=\left[{A},{B}\right]$$

Nous avons déjà remarqué que le commutateur de deux observables est toujours anti-hermitique :

$$\left[{A},{B}\right]^\dagger=\left(A\,B-B\,A\right)^\dagger=B\,A-A\,B= -\left[{A},{B}\right]$$

$$\left[{A},{B}\right]^\dagger=-\left[{A},{B}\right]$$

et il résulte que sa valeur moyenne dans tout l'état $\Psi$ est imaginaire pure :

$$<\Psi\mid \left[{A},{B}\right]\mid \Psi>^*= <\Psi\mid \left[{A},{B}\right]^\dagger\mid \Psi>= -<\Psi\mid \left[{A},{B}\right]\mid \Psi>$$

d'où :

$$\left<\left[{A},{B}\right]\right>_\Psi= i\,\left\vert \left<\left[{A},{B}\right]\right>_\Psi\right\vert$$

Par ailleurs, la norme du vecteur ket :

$$\left(\bar{A}+i\lambda\,\bar{B}\right)\,\mid \Psi>~~~~~~~\lambda\,\in\,\mathbf{R}$$

est toujours positive ou nulle de telle sorte que :

$$<\Psi\mid \,\left(\bar{A}-i\lambda\,\bar{B}\right)\, \left(\bar{A}+i\lambda\,\bar{B}\right)\,\mid \Psi>\geq 0$$

qui s'écrit encore plus explicitement :

$$\lambda^2\,\left<\bar{B}^{\,2}\right>_\Psi+i\lambda\, \left<\bar{A},\bar{B}\right>_\Psi+\left<\bar{A}^{\,2}\right>_\Psi\geq 0$$

ou tenu compte des expressions précédentes :

$$\lambda^2\,\left(\Delta B_\Psi\right)^2-\lambda\, \left\vert \left<\left[{A},{B}\right]\right>_\Psi\right\vert + \left(\Delta A_\Psi\right)^2\geq 0$$

pour que le trinôme du second degré puisse être toujours positif ou nul, il est nécessaire que le discriminant soit négatif, soit :

$$\left\vert \left<\left[{A},{B}\right]\right>_\Psi\right\vert^2-4 \left(\Delta A_\Psi\right)^2\,\left(\Delta B_\Psi\right)^2\leq 0$$

d'où il résulte immédiatement la forme générale des inégalités dites de Heisenberg :

$\Delta A_\Psi.\Delta B_\Psi\geq\scalebox{1.4}{$\frac{1}{2}$}\, \left\vert\left<\left[{A},{B}\right]\right>_\Psi\right\vert$

Question 3-4 : Appliquez l'inégalité de Schwarz aux vecteurs $\bar{A}\,\mid \Psi>$ et $\bar{B}\,\mid \Psi>$ et en déduire que :

$$\Delta A_\Psi.\Delta B_\Psi\geq\frac{1}{2}\, \sqrt{\,\left\vert\l... ...]\right>_\Psi\right\vert^2+ \left<\left[\bar{A},\bar{B}\right]_+\right>^2_\Psi}$$

où $~\left[\bar{A},\bar{B}\right]_+=\bar{A}.\bar{B}+\bar{B}.\bar{A}~$ désigne l'anticommutateur.