Etats approximativement localisés

Nous avons déjà vu^III7 que, dans un espace à une dimension, l'état d'une particule codé par le vecteur ket $\mid K>$ admet notamment les deux représentations particulières suivantes :

$$<x\mid K> = \Psi(x)~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~<p\mid K> = \varphi(p)$$

Les deux fonctions d'ondes $\Psi(x)$ et $\varphi(p)$ se déduisent l'une de l'autre :

$$<x\mid K> = <x\mid \,\mathbf{1}\,\mid K> = \int\,<x\mid p>\,dp\,<p\mid K>$$

et :

$$\Psi(x)=\frac{1}{\sqrt{h}}\,\int\,e^{+\frac{i}{\hbar}\,px}\,\varphi(p)\,dp$$

ou encore symétriquement :

$$<p\mid K> = <p\mid \,\mathbf{1}\,\mid K> = \int\,<p\mid x>\,dx\,<x\mid K>$$

et :

$$\varphi(p)=\frac{1}{\sqrt{h}}\,\int\,e^{-\frac{i}{\hbar}\,px}\,\Psi(x)\,dx$$

sachant que, comme il sera démontré ultérieurement^III8 :

$$<x\mid p> = <p\mid x>^* = h^{-\frac{1}{2}}\,e^{\frac{i}{\hbar}\,px}$$

Les fonctions $\varphi(p)$ et $\Psi(x)$ sont donc transformées de Fourier l'une de l'autre. D'un théorème de mathématique, il résulte alors que les écarts-types des variables $X$ et $P$ satisfont toujours l'inégalité mathématique :

$$\Delta X.\Delta P\geq \frac{\hbar}{2}$$

qui n'est autre que l'une des inégalités de Heisenberg.

C'est ce que nous allons vérifier dans le cas particulier d'un état $K$ dans lequel la particule est approximativement localisée dans le voisinage $\sigma_x$ d'un point que nous choisirons pour origine :

$$<x\mid K> = \Psi(x) = \left(\frac{1}{\sigma_x\,\sqrt{2\pi}}\right)^{\frac{1}{2}}\, e^{-\frac{x^2}{4\sigma_x^2}}$$

On vérifie en effet :

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\,\left\vert\Psi(x)\right\vert^2\,dx=1~~~~~~ \left<X\right>_\Psi=0~~~~~~\Delta X_\Psi=\sigma_x$$

De ce qui précède résulte que ce même état $K$ peut encore s'écrire :

$$<p\mid K> = \varphi(p) = \frac{1}{\sqrt{h}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-\frac{i}{\hbar}\,px}\,\Psi(x)\,dx$$

soit explicitement, après substitution de la fonction $\Psi(x)$ et intégration :

$$\varphi(p) = \left(\frac{1}{\sigma_p\,\sqrt{2\pi}}\right)^{\frac{... ...{4\sigma_p^2}}~~~~ \left(\mathrm{avec}~~\sigma_p=\frac{\hbar}{2\sigma_x}\right)$$

On notera la similitude de cette expression avec la précédente, d'où résulte immédiatement :

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\,\left\vert\varphi(p)\right\vert ^2\,dp=1~~~~~~ \left<P\right>_\Psi=0~~~~~~\Delta P_\Psi=\sigma_p$$

$$\Delta X.\Delta P_x=\sigma_x\,\sigma_p=\frac{\hbar}{2}$$

Nous nous trouvons dans le cas particulier où l'inégalité de Heisenberg devient une égalité.

Le résultat qui vient d'être obtenu :

$$\left(\frac{1}{\sigma_x\,\sqrt{2\pi}}\right)^{\frac{1}{2}}\, e^{-... ...right)^{\frac{1}{2}}\, e^{\frac{p^2}{4\sigma_p^2}}\,e^{\frac{i}{\hbar}\,px}\,dp$$

est une illustration de la relation générale :

$$\Psi(x) = \frac{1}{\sqrt{h}}\, \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{+\frac{i}{\hbar}\,px}\,\varphi(p)\,dp$$

dans le cas particulier d'une fonction $\varphi(p)$ gaussienne.

Question 3-7 : Considérez le cas d'une fonction $\varphi(p)$ normalisée, nulle partout sauf si $p\in\delta p$ et égale à $\delta p^{-\frac{1}{2}}$ si $p\in\delta p$ , où $\delta p$ désigne un intervalle centré sur une valeur $p_0$ .

$\imath-$ Montrez que le vecteur ket représentatif de l'état correspondant à cette fonction $\varphi(p)$ peut s'écrire : $$\mid \overset{\sim}{p}> = \frac{1}{\sqrt{\delta p}}\,\int_{\delta p}\,\mid p>\,dp$$ $\imath\imath-$ Calculez $\left<P\right>$ , $\left<P^2\right>$ et montrez que : $$\Delta P=\frac{\delta p}{2\sqrt{3}}$$

$\imath\imath\imath-$ Montrez que la fonction d'onde de Schrödinger de cet état s'écrit :

$$\Psi_{\overset{\sim}{p}}(x)=<x\mid \overset{\sim}{p}> = \left(\fr... ...ptstyle 0} x}\, \frac{\sin u}{u}~~~~\mathrm{avec}~~u=\frac{\delta p}{2\hbar}\,x$$

$\imath v-$ Montrez qu'elle est bien normalisée. Calculez $\left<X\right>$ , $\left<X^2\right>$ et $\Delta X$ .

On est souvent amené à considérer le cas d'une particule dont l'état initial, très voisin d'un état propre d'impulsion (cas d'une particule appartenant à un faisceau) l'amène à traverser un écran precé d'un trou (diaphragme).    La traversée du trou constitue une mesure de la position instantanée de cette particule, et provoque la réduction du paquet d'ondes.

Question 3-8 : En considérant seulement la dimension ``$x$ '' du problème, montrez qu'à la sortie du trou l'état initial d'impulsion $p_x=0$ devient, après réduction du paquet d'ondes :

$$\mid \Psi> = \frac{1}{\sqrt{\delta x}}\,\int_{\delta x}\,\mid x>\,dx$$

$\delta x$ désignant la largeur du trou. Déterminez la distribution en impulsion des particules sortantes en calculant la fonction de probabilité :

$$\mathcal{P}(p)\,dp=\left\vert<p\mid \Psi>\right\vert^2\,dp=\left\vert \varphi(p)\right\vert^2\,dp$$

Tracez la courbe représentative de la fonction densité de probabilité $\left\vert\varphi(p)\right\vert^2$

Bien évidemment, tous les résultats précédents peuvent être immédiatement généralisés au cas de l'espace physique à trois dimensions, et par exemple avec :

$$\Psi(\vec{r})=<x,y,z\mid K>~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~ \varphi(\vec{p})=<p_x,p_y,p_z\mid K>$$

$$\Psi(\vec{r})=\left(\frac{1}{\sigma_r\,\sqrt{2\pi}}\right)^{\frac... ...sigma_p\,\sqrt{2\pi}}\right)^{\frac{3}{2}}\, e^{-\frac{\vec{p}^2}{4\sigma_p^2}}$$

$$\Delta X = \Delta Y = \Delta Z = \sigma_r~~~~~~~~~~~~ \Delta P_x = \Delta P_y = \Delta P_z = \sigma_p$$

avec $~~~\sigma_r.\sigma_p=\frac{\hbar}{2}$